de Géométrie analytique. 337 



d''v=G,v — A=5',i)— B=A et v — C=k , 

 on trouve 



gt)f -{-hn'-\- k — 2Dmn — 2Em — 2Fn^o. 

 Résolyant celle équation par rapport à m ; on sait que le maxi- 

 mum et le minimum de v rendent nulle la quantité sous le radical -, 

 et qu'il en est de même du radical de l'expression de n, fournie 

 par cette égalité à zéro. On trouvera donc 



gm=Bn+E,(gh—D-')n=DE-\-Fg et 

 t>'— (A+B -1- C)y'4-(AB+AC4-BC— D=— E'— F')o 

 — (ABC-(-2DEF-AF=— BE=— CD')=o. 

 Cette dernière équation a pour racines le maximum de u , le mi- 

 nimum et la valeur intermédiaire; et ainsi d^v=G fait connaître 

 le minimum de d' , le maximum et la valeur intermédiaire, c'est- 

 à-dire les trois axes principaux cherchés. On aura ensuite leurs 

 directions respectives; lesquelles satisferont deux à deux à la con- 

 dition de perpendicularité. 



44. Diamètres RECTANGULAIRES. On peut faire G^l : si alors 

 2a, 2/3, 2S sont les diamètres rectangulaires, réels ou imaginaires, sur 

 les axes respectifs des x, des y et des z, on aura Aû:' = 1,B|S==1 

 etC(^==l. Les racines de v^ — (A-f-B+C)u'-|-etc. = o, sont les 

 inverses des carrés des trois demi-axes principaux; la somme des 

 inverses des carrés de trois diamètres rectangulaires quelconques 

 est donc égale à la somme des inverses des carrés des trois axes. 



On voit que, dans l'ellipsoïde, par exemple, il existe une infi- 

 nité de systèmes de trois diamètres rectangulaires; il existe donc 

 aussi une infinité d'octaèdres symétriques , inscrits et de même 

 centre: tous sont circonscrits à la sphère concentrique, de rayon 

 R donné par (A-}-B-l-C)R'=l. Or, parmi tous ces octaèdres, un 

 seul est régulier : c'est le plus petit de tous et celui de moindre sur- 

 face totale (facile à démontrer chaque fois). — On démontre aussi que 

 la somme de trois diamètres rectangulaires de l'ellipsoïde est \in mi- 

 nimum dès qu'ils sont égaux entre eux. 



45. Diamètres conjugués. 1° Si les coordonnées ne sont pas 

 rectangulaires, mais que les coefficients 2D, 2E et 2F soient nuis; 

 on peut, par des calculs analogues à ceux indiqués plus haut (43), 

 déterminer le plus grand et le plus petit diamètre : il en résulte 

 très- simplement les trois relations connues entre un système 

 quelconque de trois diamètres conjugués et les trois axes prin- 

 cipaux de la surface proposée. 



Ainsi, dans ri-llipsoïde, non-seulement il existe une infinité de 



