îi38 J. N. Noël. — Exercices 



systèmes de trois diamètres conjugués; mais il existe une infinité 

 de diamètres, conjugués trois à trois et tous égaux entre eux. Or, 

 on démontre aisément que la somme de trois diamètres conjugués 

 de l'ellipsoïde est un maximum on un minimum , suivant que ces 

 trois diamètres sont égaux entre eux ou qu'ils se confondent avec 

 les axes principaux. 



2° Observons d'ailleurs que les huit plans tangents à l'ellipsoïde , 

 menés par les huit points où les diagonales du parallélipipèdc des 

 axes percent la surface , forment un octaèdre circonscrit , dont les 

 six sommets se trouvent sur les prolongements des axes principaux. 

 Cet octaèdre symétrique circonscrit et l'octaèdre inscrit , celui-ci 

 ayant les mêmes sommets que l'ellipsoïde , sont semblables , de for- 

 me et de position. Or, connaissant numériquement les trois axes 

 principaux , quelles sont les expressions des volumes et des surfaces 

 des deux octaèdres? 



3° On démontre que, parmi tous les octaèdres symétriques ins- 

 crits, ayant chacun pour sommets les extrémités de trois diamètres 

 quelconques de l'ellipsoïde, l'octaèdre maximum a pour diagonales 

 trois diamètres conjugués. 11 y a donc une infinité de ces octaèdres 

 inscrits, de même volume maximum, sixième d'un parallélipipède 

 conjugué ou du parallélipipède des axes. 



4" Soit E le volume de l'ellipsoïde circonscrit à un octaèdre symé- 

 trique, de même centre et de volume v, et soit posé E=vr. Si E 

 est constant, on vient de voir que v est un maximum dès que ses 

 diagonales sont trois diamètres conjugués de E; par suite r est un 

 minimum : donc si v est donné constant , E et r étant variables , il 

 est clair que E sera un minimum en même temps que r, c'est-à-dire 

 quand l'octaèdre donné v aura pour diagonales trois diamètres con • 

 jugués de E. Ainsi le plus petit de tous les ellipsoïdes circonscrits à 

 des octaèdres symétriques , de même volume v donné , est celui oit les 

 diagonales de l'un de ces octaèdres sont trois diamètres conjugués. H 

 existe donc aussi une inBnité de ces ellipsoïdes circonscrits, tous de 

 même volume minimum. 



5° Si donc les trois diagonales de v sont 2a , 2b , 2c et à angles 

 droits, d'où w=:fa£c; on a les trois axes principaux de l'ellipsoïde, 

 de volume minimum E=4raôc. D'ailleurs r ne contient ni a, ni b, 

 ni c; donc il ne change pas quand c=b=a. Mais alors l'ellipsoïde 

 devient la sphère E'^j^aaa = jraao; donc r=îret E=fxaic. 



6° On peut voir sept autres propriétés remarquables de l'ellip- 

 sdïde , indiquées dans notre traité de Géométrie anahjtique et où de 



