de Géomélrie analytique. 339 



plus se trouve démonlré le Ihéorème suivant: Dans tout elUpsoide. 

 le lieu géométrique des diamètres, en nombre infini, de même lon- 

 gueur, est une surface conique du second degré, passant par les 

 quatre diagonales du parallélipipède des axes principaux. 



7° Le lieu géométrique des milieux de toutes les cordes de l'ellip- 

 soïde a;'-4-42/'+9-'=36, menées du point P(4,6,8), est un second 

 ellipsoïde, semblable an premier, dont le centre est le milieu de la 

 droite OP, étant l'origine. Et si les coordonnées sont rectangu- 

 laires ; quelles sont , d'après 5°, les valeurs numériques des volumes 

 des deux ellipsoïdes? 



8° Quelle est la surface , divisant à la fois le volume de la S[ihcre 

 a;'+j/' + j' = a' en trois portions équivalentes , et chaque corde de 

 cette sphère, parallèle à l'axe des z, en trois parties égales? — 

 Même problême pour un ellipsoïde dont 2a , 2A et 2c sont les axes 

 principaux donnés. 



9° Enfin , si à partir de l'origine , on prend , sur les axes des x . 

 des y et des z rectangulaires , les longueurs OA=:2a,OB=2A e 

 0C=2c: non-seulement on peut calculer le rayon de la sphère cir- 

 conscrite au tétraèdre OABC , ainsi que les rayons des petits cercles 

 déterminés par les faces de ce tétraèdre ; mais il en résulte que la 

 distance de O à un plan quelconque de grand cercle , est la somme 

 algébrique des distances de A, B, G au même plan. 



46. Applications diverses. Voici maintenant plusieurs appli- 

 cations des formules pour le calcul des axes principaux : 



I. Les coordonnées étant rectangulaires, quel est le genre de la 

 surface représentée par l'équation numérique 



x'+7f+8z'—ixz—iijz=l 6 ? 

 Pour le savoir , il faut calculer les longueurs de ses axes princi- 

 paux 2a, 26 et 2c; or, on trouve 2a=8,2i=f et2c=16 sur 0. La 

 longueur du troisième axe 2c ne saurait donc se calculer , ou si l'on 

 veut, elle est infinie ; d'ailleurs ses équations sont x=2z ely—2z. 

 Quant aux deux premiers axes 2a et 2i , ils sont ceux d'une ellipse 

 dont l'aire csI~t et dont le plan est perpendiculaire au troisième 

 axe 2c. De plus, comme2 = o, donne la circonférence a;'-f-y'==16; 

 on voit que la surface proposée est une surface cylindrique, oblique 

 au plan des xy, ayant pour base le cercle z=o etx^-\-y'= 16. On 

 trouve, en effet , que si une droite se meut sur la circonférence z = o 

 cl x'-\-y'=l&, en restant constamment parallèle à la droite fixe 

 x='2z,y=2z, elle engendre la surface proposée. 



Si le plan de l'ellipse ^tt, déjà perpendiculaire à l'axe x=2r, 



