340 J. N. Noël. — Exercices 



y^lz , est en même temps tangent au cercle z=o cl x'-f'î/' = ï'î ; 



il est facile de calculer le volume du tronc cylindrique dont le cercle 



et l'ellipse sont les bases; car { est le cosinus de l'angle des deux 



plans. 



H. C'est aussi par le calcul des axes principaux que l'on recon- 

 naît une surface cylindrique dans 



et un cône dans ai'-j-t/' — 2~' — 4xy=o : c'est le cône asymptote de 

 riiypcrboloïde x^-^-y- — 2z' — ^xy= 12. 



III. Si par chaque point de la surface sphérique , dont a est la 

 valeur numérique connue du rayon , on mène une parallèle à l'axe 

 des a; rectangulaires, du côté des a; positifs, et que la longueur de 

 cette parallèle soit celle , 1° de l'y, 2' du z, 3" de la somme de \'y 

 et du js de ce point; chaque fois le lieu géométrique de tous les 

 points, ainsi obtenus, est un ellipsoïde , de volume équivalent à 

 celui de la sphère proposée. (C'est ce qu'on démontre par le calcul 

 des axes principaux). 



IV. Chaque lieu géométrique de tous les points obtenus en pro- 

 longeant le ~ de chaque point de la surface sphérique, dans le sens 

 des z positifs, soit de l'x , soit de Vy , soit enfin de la somme de 

 r.r et de \'y de ce point, est encore un ellipsoïde, de volume équi- 

 valent à celui de la sphère proposée. — Mais si l'on prolongeait 

 de la longueur b donnée ; quel serait le lieu géométrique? 



V. Les coordonnées étant toujours rectangulaires, le calcul des 

 axes principaux fuit voir que 



2x--\-2y^--\-'lz-—'2xy—2xs—1yz=lL^ , 

 est un cylindre, dont l'axe x=z,y=z est perpendiculaire au plan 

 x-i[-y-\-z==o , plan d'un grand cercle de la sphère x'-^y'-i-z' = 16; 

 cette surface cylindrique touchant, par suite, la surface sphérique 

 suivant la circonférence de ce grand cercle. 



VI. La droite donnée AB se meut de telle sorte que ses extré- 

 mités A et B restent constamment, la première A sur l'axe des z 

 rectangulaires et la seconde B sur le plan des xy : si par un point 

 P de cette droite , donnant AV=k et PB^A , on mène , dans toutes 

 les positions de AB, une parallèle à l'axe desx, du côté des a; posi- 

 tifs, et que la longueur de cette parallèle soit égale au z du point 

 P; le lieu géométrique de tous les points, ainsi obtenus, est un 

 ellipsoïde équivalent au volume de la sphère dont h est le rayon. — 

 Par ce mode de génération, les deux droites AB et A'B' étant di- 

 visées en parties, proportionnelles ou non, par les deux points 



