de Géométrie analytique. 341 



P et P', il en résulte deux ellipsoïdes semblables , de forme et de 

 position. — La longueur de chaque parallèle pourrait être Vy du 

 point P, ou Xx^ ou la somme de \'y et du z , etc. — Enfin , O étant 

 l'origine des coordonnées rectangulaires ; si par le milieu de AB=a^ 

 on élève à cette droite une perpendiculaire, de longueur donnée b, 

 hors du triangle rectangle AOB, mais dans le même plan ; l'extré- 

 mité de b appartient h une surface de révolution, se réduisant au 

 cône a:'-|-y'^s% lorsque 6=ia: c'est le cône asymptote de Thy- 

 perboloïde de révolution a;^+2/'— 2'=r\ 



VIL Les coordonnées étant rectangulaires , quel est le lieu géo- 

 métrique de tous les points tels que : 1 ° les trois rectangles , compris 

 sous les distances deux à deux de chaque point aux trois plans 

 coordonnés, aient le carré donné a^ pour somme? 2** la somme de 

 ces trois rectangles, retranchée du carré de la dislance du point à 

 l'origine , donne le reste constant a^ ? 



VllI. La connaissance des axes et des paramètres principaux est nécessaire pour 

 calculer les volumes de certains segments dans les ciuq surfaces du second ordre. 

 On parvient directement aux expressions de ces volumes à l'aide de la règle des 

 variables auxiliaires , simplifiée par la méthode înûnilésimale. Mais il importe d^ob- 

 server que la métbode foîiclionnelle , cumoie on l'a déjà vu plus baut , conduit très- 

 simplement à Texpression du volume E de l'ellipsoïde , au moyen des valeurs 

 numériques de ses demi>axes principaux a,J,c, d'après l'expression |;r«' de la 

 spbère dont a est le rayon. 



£u effet , le volume £ de l'ellipsoïde est déterminé entièrement dès que ses trois 

 demi-axes principaux, ajhjC sont donnés; le parallélipipède rectangle dont abc 

 est le volume, est donc aussi complètement déterminé , aussi bien que le rapport 

 Rde E à abc ; de sorte que E=Raic. Or, le rapport R est un nombre abstrait , ne 

 conservant aucune trace de ses deux termes , et indépendant , par suite, des nom- 

 bres «,i,c, ici quelconques^ ce rapport ne cbange donc aucuntment lorsque ces trois 

 nombres deviennent égaux au premier a. Mais alors le volume E devient le volume 

 Erdela spbère et l'on a L' ='Kaaa=^7raaa ; d'où K:=^7r. Et puisque le rapport R n'a 

 pas cbangé en faisant c=5=a , il s'ensait qu'avant cette bypolliêse, on avait aussi 

 R=^7î: ; donc E=|7raJc. 



Par cette méthode , l'aire du cercle conduit immédiatement à l'aire de l'ellipse , 

 et la même méthode s'applique, avec beaucoup de facilité, à la recherche de rap- 

 ports égaux ^ dans la géométrie élémentaire. 



Par exemple» soient P et P' deux prisaaes ou deux cylindres quelronques ; soient 

 Q et Q' deux pyramides ou deux côues , ayant mêmes bases respectives que P et P', 

 et respectivement une arête latérale commune avec P et P', 



Il est d'abord évident que Q' se trouve avec P' absolument comme Q avec P ; 

 donc puisque le rapport indique toujours comment l'antécédent se Iruuve avec 

 le conséquent seul; on voit déjà que le rapport de Q' h P' tst absolument lu incme 

 que celui de Q à P. 



Soient d'ailleurs n et n' les rapports de Q à P et de Q' à P' : ou a donc Q=^Pn et 

 Q'=rP'n'. Les lapporls n et n' sont deux nombres abstraits , ne const^rviiut .uicune 

 trace de leurs deux termes; ils ne sauraient doue changir aucui:emi nt loisquc les 



