342 J. N. Noël. — Exercices 



deux prisrat-s ou cylimliesP et P', d'aburd quelconques, dcvieiineulcgaux entre eux. 

 Mais alors Q et Q' coïacident en même temps que P et P' ; cVst-ii-dire qu'alors Q et Q* 

 sont aussi égaux entre eus. Donc Q'=P'n' devient (^=Vu' : d^jà Q==P/i ; donc n'=n. 



Les rapports n et a' ne changeai point par l'hypotlièse de P=P' ; doue puisque 

 maintenant ils sont égaux, ils étaient déjà égaux avant cette hypothèse; et l'on 

 avait simultanément Q^=:P/i et Q'=P'n ; c'est-à-dire 

 Q;Q'=P:P'. 



Donc deux pyramides Q et Q\ de bases équivalentes et de hauteurs égales^ sont 

 équivalentes entre eHes\ car alors les deux prismes P et P* sont équivalents eux- 

 mêmes. 



De là donc , si P' est un demi-cube, Q' équivaut à la pyramide régulière» sixième 

 de ce cube 2P' et par conséquent tiers de P'. Ainsi, en vertu de la proportion ci- 

 dessus, on aura toujours Q;=^P; même quand P étant un cylindre quelconque , Q 

 désigne le cône de hauteur égale et de base équivalente à celle de P, 



IX. La recberche des axes et des plans de symétrie se présente souvent pour 

 faciliter l'étude des surfaces numériques, du second ordre et d'un ordre supérieur. 

 Par exemple , les coordonnées étant rectangulaire^-, si à partir de Torigiue y on mène 

 à volonté la droite donnée a , et qu'eu partant de l'autre extrémité de a , on porte , 

 sur cette droite ou sur son prolongement, la longueur égale à Vx de celte extré- 

 mité 'j le lieu géométrique de tous les points , ainsi obtenus , est la double surface • 

 x=-|-?/'+=2— al/(j:^-f-(/^-f::2)=±a^. 



C'est la surface de révolution , autour de l'axe des x , décrite par la double courbe 

 polaire 



r=a(l±cos C(î); 

 le signe -j- répondant an cas où l'a: est portée sur le prolongement de a. 



La discussion apprend que les deux courbes , représentées par la double équation 

 polaire, sont parfaitement égales entre elles ; mais que leurs points homologues se 

 trouvent , deux à deux, aux extrémités d'une droite perpendiculaire à l'axe des y 

 et divisée par lui en deux parties égales : chaque courbe a un point de rchrousse- 

 ment à l'origine et chacune a un ase de symétrie 2a , situé sur l'axe des x, du côté 

 des X positifs pour l'une et du côté des x néi;atifs pour l'autre. De plus , les deux 

 courbes se coupent en deux points .sur l'axe des 1/ et à la même distance a, de part 

 et d'autre de l'origine ; celle-ci est donc le centre de la courbe C , dont les deux pro- 

 posées sont les deux branches , égales et opposées. Ainsi la courbe C a deux axes 

 principaux Jia et 2ti, situés sur ses axes de symétrie desx et à^s y\ de sorte que Paire 

 limitée par C a pour mesure 4ra^+|Tra- ; tandis que l'aire limitée par chaque bran- 

 che a f-Tra^ pour mesure. 



La surface proposée étant donc décrite par la deoii-cjurbe C autour de 4fl , est 

 composée de deux nappes finies , égales et opposées : elle est coupée en deux parties 

 égales par le cercle, de rayon a, sur l'axe des y\ et ce cercle est un plan de symétrie 

 de la surface , perpendiculaire à l'axe 4a, — Quelle est l'aire du cercle décrit par le 

 •maximum de t/, dans C ? 



Différentes surfaces mime'riques. 



47, Les coordonnées étant rectangulaires, rapporter, à ses axes 

 principaux, l'hyperboloïde à une nappe, savoir : y'=2xz-\S^. 

 Couper ensuite la surface par le plan x=^7nz , passant par le nouvel 

 axe des y, et calculer m de telle sorte que la projection, sur le plan 



