344 J. N. Noti,. — Exercices 



successives des deux droites mobiles? — Aurait-oii des surfaces res- 

 pectivement semblables aux trois précédentes, si les deux droites 

 partaient des deux points (3,2, l)el (—3, — 2, — I)? 



51 . Les coordonnées étant reclangulaires , quels sont les axes prin- 

 cipaux de la surface du second ordre, lieu géométrique de tous 

 les points obtenus en prolongeant le z de chaque point de la sur- 

 face sphérique, de rayon r donné, de la longueur égale à \'x de ce 

 dernier point ? 



52. Le lieu géométrique de tous les points tels, que la différence 

 des distances de chacun aux deux points donnés ( — 2,0,0) et (10,0,0), 

 soit égale à 4 , est un byperboloïde à deux nappes de révolution; 

 tandis que c'est un plan unique , si 96 est la différence des carrés 

 des deux distances. Ce serait une sphère , si la somme de ces deux 

 carrés était 90; et un ellipsoïde, si 100 était la somme des deux 

 distances proposées. 



53. Quel est le lieu géométrique de tous les points tels, 1° que 

 la somme ou la différence des carrés , faits sur les distances de cha- 

 cun à l'axe des z et au plan des a;?/ rectangulaires , soit équivalente 

 à un carré donné a'? 2° que la somme ou la différence de ces dis- 

 tances ait la longueur donnée 2a? 



54. Un point étant donné à la distance 20 d'un plan Cxe , on 

 peut calculer le lieu géométrique de tous les points tels , que les 

 distances de chacun au point et au plan donnés, 1° soient égales 

 entre elles ; 2° que l'une soit double de l'autre (ce qui fait deux cas 

 à distinguer) ; 3° que leur somme soit GO ; 4° enûu , que leur diffé- 

 rence soit 30 (ce qui fait encore deux cas à distinguer). Chaque lieu 

 est une surface de révolution. 



55. Les coordonnées étant rectangulaires, si dans chacun des 

 deux hyperboloïdes 



'2,x'~Yiy'—z''=S et a;'— »/'— i:'=4 , 

 on prolonge le z de chaque point d'une longueur égale à l'a: de ce 

 point ; les lieux géométriques de tous les points ainsi obtenus, dans 

 les deux systèmes, sont deux hyperboloïdes, de mêmes genres res- 

 pectifs que les deux proposés. — C'est ce que l'on reconnaît par 

 le calcul des axes principaux des deux nouvelles surfaces : effec- 

 tuer ce calcul pour cbacune. 



56. Les coordonnées étant rectangulaires, si l'on coupe l'ellipsoïde 



a'+3y'-i-4^'=36; 

 par les deux plans parallèles z=x — 1 et z=^x-{-\ , les deux sections 

 sont des ellipses égales. Démontrer ce théorème, par le calcul des 



