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de Géométrie analytique. 345 



aires des deux sections, et indiquer la construction des deux plans 

 parallèles proposés. — Les deux sections seraient deux ellipses sem- 

 blables, si les deux plans parallèles étaient 3z=Ayel 3z^%-(-3 : 

 quelles sont alors les aires des deux sections elliptiques ? Et quel est 

 le volume du tronc de cylindre droit, à base elliptique, déterminé 

 par la section 3z — ^y et sa projection sur le plan des xrjl 



57. Le paraboloïde elliptique , rapporté à ses paramètres prin- 

 cipaux , savoir : 



Sr-\-z-=\2x, 

 étant coupé par les deux plans parallèles z=mx et z=mx->r3; non- 

 seulement les deux sections sont deux ellipses semblables; mais leurs 

 projections sur le plan des xy sont des circonférences , si celui-ci 

 fait , avec les deux plans parallèles , deux coins de chacun 60\ 

 Quelles sont alors les expressions des aires des deux sections, 

 ainsi que des surfaces et des volumes des deux troncs de cylindres 

 droits résultants? 



58- Les coordonnées étant rectangulaires , le lieu géométrique 

 de tous les points tels , que la distance de chacun à l'origine soit 

 moyenne proportionnelle entre Vx et Vy de ce point , augmentés 

 chacun de 4 , est un ellipsoïde. C'est ce qu'on démontre par le calcul 

 des axes principaux : effectuer ce calcul. — Si l'x et l'y étaient aug- 

 mentés chacun de 6, l'ellipsoïde résultant serait-il semblable au 

 premier? — Quelle serait la surface , si la distance à l'origine était 

 moyenne proportionnelle entre 8 et l'a; de chaque point? 



59. L'origine étant au centre du cube , ayant 2 pour côté , et les 

 axes étant respectivement parallèles aux trois arêtes contiguës ; si 

 la droite mobile 



x='mz-[p, y=nz-\-q, 

 est assujettie à s'appuyer constamment sur trois arêtes fixes, indé- 

 finiment prolongées; celte droite, dans son mouvement, engendre 

 la surface 



xy^xz+yz^r^^Q; 

 laquelle, rapportée à ses axes principaux, devient 



x'+y—2z'=2: 

 c'est l'hyperboloïde à une nappe de révolution autour de l'axe des z. 



— Quelles sont les expressions des volumes, depuis z=o jusqu'à 

 5=1, des segments de l'hyperboloïde proposé et du cône asymptote? 



— Si 2c est le côté numérique du cube, on trouve un hyperboloïde 

 semblable au précédent. 



Si une droite se meut parallèlement à l'axe des y rectangulaires. 



