3-iO J. N. Noël. — Exercices 



en s'appuyant constamment sur l'axe des ^ et sur la droite z=fîx , 

 y=4; elle engendre la surface ^2= Sx ; laquelle revient à j/'—z'= 

 8x : quel est le volume du segment entre la surface et le plan des 

 t/z, depuis s=o jusqu'à s=-\21 



60. Les coordonnées étant rectangulaires , considérons la surface 



Comme toutes les sections parallèles au plan des yz sont circu- 

 laires et ont leurs centres sur l'axe des x; et comme les plans 

 x=0,x^=2,a:= — 2 donnent des cercles nuls , tandis que les deux 

 plans x=±^/2, donnent deux cercles maximums égaux , de rayon 

 2 chacun ; on voit que celte surface est de révolution et décritCj 

 autour de l'axe 4, sur l'axe de symétrie des x rectangulaires , par 

 la demi-lemniscate 



y'=ix' — xi. 



Démontrer que le volume de révolution résultant est les deux 

 cinquièmes de celui de la sphère ayant 2 pour rayon. 



61. Si les trois arêtes contiguës d'un parallélipipède rectangle 

 variable se trouvent sur les trois axes des coordonnées rectangulaires; 

 le point {T,y,z) , extrémité de la diagonale d qui aboutit à l'origine , 

 décrit deux plans parallèles , si d' plus la surface totale du parallé- 

 lipipède font le carré 04. Or, quelles sont les expressions du volume 

 et de la surface totale du prisme ayant pour bases les triangles 

 interceptés sur les deux plans, par deux trièdres opposés des coor- 

 données? 



On peut calculer les axes principaux de la surface décrite par 

 l'extrémité [x,y,z] de d , 1° lorsque la surface tolale du paralléli- 

 pipède rectangle variable ou la surface latérale moins la somme 

 des deux bases, a le carré 64 pour valeur constante; 2° lorsque 36 

 est constamment la différence de (/= à la surface totale , ou celle-ci 

 moins d' ; 3" si le carré 100 est d' moins la surface latérale, ou 

 celle-ci moins d' ; 4° lorsque le carré 64 est constamment d' moins 

 la somme des deux bases , ou cette somme plus ou moins d' ; 

 5° enfin , lorsque la somme des carrés des quatre diagonales plus 

 ou moins la surface tolale du parallélipipède font constamment 144. 

 — Toutes les surfaces, ainsi obtenues, sont douées de centres, et 

 plusieurs sont de révolution. 



62. Les coordonnées étant rectangulaires, on peut aisément rap- 

 porter, à ses axes -principaux , la surface numérique : 



x'-\-2y" — 4-' — 'Ixy — ix-\-iy = \1. 

 Or, conmiciil couper la surface, ainsi représente.', par nu plan 



