de Géométrie analytique. 347 



parallèle à l'axe moyen, de telle sorte que : 1° là sectioii soii cit- 

 culaire?2° une projection orthogonale de la section, sur l'un dos 

 plans coordonnés, soit une circonférence ? — Calculer chaque fois 

 les aires de la section et de sa projection. 



63. Dans les deux hyperboloïdes de révolution : 



x'-\-y'^3z'=d' et x'^y^ — z'=d' , 

 si l'on mène , par chaque point, une parallèle à l'axe des x, et que , 

 du côté des x positifs , la longueur de cette parallèle soit la somme 

 de \'y et du z de ce point ; les lieux géométriques de tous les points , 

 ainsi obtenus, sont deux hyperboloïdes, non de révolution. — Si 

 l'on prolongeait , dans le sens des z positifs, le z de chaque point 

 des deux hyperboloïdes proposés , d'une longueur égale à la somme 

 de i'x et de Vy de ce point ; quels seraient les lieux géométriques 

 des deux systèmes de points, ainsi obtenus? 



64. Le lieu géométrique de tous les points (x,y,a) tels, que la 

 distance de chacun à l'origine des coordonnées rectangulaires soit 

 x-^y-\-z — d ou x-\-y — d, d étant une longueur donnée , est chaque 

 fois un hyperboloïde de révolution : quels en sont les axes prin- 

 cipaux? — Le lieu serait la surface sphérique , de rayon 2, si la 

 distance de l'origine à chaque point cherché était double de la dis- 

 tance de celui-ci au point donné (1,2,2). 



65. Soient deux droites AB=a et A'B' = a', assujetties à se mou- 

 voir de telle sorte que les extrémités A et A' restent constammeni 

 sur l'axe des z rectangulaires et les extrémités B, B' sur le plan 

 des xy : 1° les deux points P et P', divisant les deux droites proposées 

 en segments 'proportionnels, décrivent deux ellipsoïdes concentri- 

 ques, semblables de forme et de position; tandis que les milieux 

 des deux droites décrivent deux surfaces sphériques dont ia et ia' 

 sont les rayons, 



2° Les lieux géométriques des pieds des perpendiculaires , menées 

 de l'origine, sur les deux droites AB et A'B', dans leurs diverses 

 positions , sont deux surfaces de révolution semblables, décrites 

 autour de l'axe des z , par les doubles lemniscates semblables : 

 4r' = o' sin' 2«el4r'"=o'' sin' 2». 



Or, comment calculer l'aire de chaque double lemniscate et le 

 volume qu'elle engendre autour de l'axe des z? 



3° Si, à partir de l'origine, on porte sur chaque perpendulaire 

 à AB, la longueur égale au z du pied de cette perpendiculaire; le 

 lieu géométrique de tous les points, ainsi obtenus, est une surface 



