348 J. N. Noël. — Exercices 



de révolution , autour de l'axe des z , décrite par la double lemnis- 

 calc , dont on sait calculer l'aire , savoir : 

 r=±a siu 'a cosm. 

 Mais la surfice ne serait pas de révolution , si la longueur portée 

 était égale à l'x ou à Vy du pied de la perpendiculaire. 



4° Enfin, quel serait le lieu géométrique, si la longueur portée 

 était égale à la somme de deux ou des trois coordonnées du pied 

 de la perpendiculaire à AB , ou si cette perpendiculaire était pro- 

 longée de la longueur a=AB , elle-même ? 



66. Les coordonnées étant rectangulaires, soit a le rayon de la 

 surface sphérique: 1° si, à partir du centre, on porte sur chaque 

 rayon , la longueur égale à \'x de l'extrémité de ce rayon : le lieu 

 géométrique de tous les points, ainsi obtenus, est la surface de 

 révolution autour de l'axe des x , décrite par la derai-lemniscate : 

 r=±a cos a; laquelle est le système de deux circonférences égales , 

 se touchant extérieurement à l'origine. Aussi la surface de révolu- 

 tion résultante est-elle le système de deux surfaces sphériques éga- 

 les, se touchant au centre de la première, qu'elles touchent inté- 

 rieurement. 



On aurait la même surface de révolution, mais autrement si- 

 tuée , si la longueur portée était 1'^ ou le z de l'extrémité de ce 

 rayon. 



2° Si à partir du centre , on porte sur chaque rayon a , la somme 

 de l'a; et de l'y de l'extrémité de ce rayon ; le lieu géométrique de 

 tous les points, ainsi obtenus, est encore le système de deux sur- 

 faces sphériques égales, dont les centres se trouvent sur le plan 

 des xy; lesquelles se touchent au centre de la proposée et la touchent 

 intérieurement. 



La longueur portée pourrait être la somme ou la différence des 

 coordonnées de l'extrémité du rayon. 



3" Enfin, quel serait le lieu géométrique de tous les points ob- 

 tenus en prolongeant chaque rayon a d'une longueur égale, soit 

 à l'a; ou à Vy ou au z , soit à x-{-y, à x — y, à x-\-y-\-zQVi'aiX-{-y — z; 

 le point [x,y,z] étant l'extrémité du rayon? 



67. Les surfaces du second ordre, douées de centres, étant rap- 

 portées à leurs axes principaux ; le lieu géométrique des pieds de 

 toutes les perpendiculaires , abaissées du centre de chacune sur ses 

 plans tangents, est une surface de révolution : 1° pour Vellipsoïdc, 

 cette surface est décrite, autour de l'axe des x , par la demi-courbe 

 polaire, dont i'^a '-]-*■) exprim(; l'aire totale; 2° pour l'hypcrùo- 



