de Géométrie analytique. 34i) 



loïde,h. une ou à deux nappes, la surface de révolution résultante 

 est décrite par une denii-lemniscate tournant autour de l'axe des z 

 ou autour de l'ase des x. Dans Ihyperboloïde à une nappe, l'aire A 

 limitée par la lemniscate génératrice , où l'arc a de rayon 1 , croît 

 depuis o jusqu'à son maximum a', donné par (a"+c") cos 'ffl' = c', a 

 pour expression 



A=(o" — c-)a'-\-ac. 



Et si l'on change cen i, on a l'aire de la lemniscate, généra- 

 trice de la surface de révolution , dans l'hyperboloïde à deux 

 nappes. 



Enfin, on trouve, d'une manière analogue, la surface, lieu géo- 

 métrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées , du 

 l'origine des coordonnées rectangulaires , sur les plans tangents 

 à chacune des deux surfaces : ay'-\-bz'=^abx et ax='yz. 



68. Dans les surfaces du second ordre , rapportées à leurs axes 

 ou à leurs paramètres principaux , l'origine des coordonnées rec- 

 tangulaires est un sommet réel de chacune. Or, par l'axe des y, on 

 mène un plan perpendiculaire à tout plan tangent à la surface pro- 

 posée : quel est le lieu géométrique du point où le premier plan 

 coupe le z' du contact du second plan? — Discuter chaque surface 

 résultante et calculer, dans chacune, le volume du segment déter- 

 miné par le plan donné, parallèle à l'un des plans coordonnés. 



Par exemple, pour le paraboloïde elliptique 

 ay''-^bz'=abx, 

 le lieu géométrique cherché est la surface du 4» degré 

 ix^y^-j-abz- = 46x3. 

 Coupant cette surface par le plan a;=;A, il est facile de calculer 

 le volume du segment résultant , depuis x=o jusqu'à x=-h ; et 

 si b^a, ce volume équivaut à celui de la demi-sphère dont h est 

 le rayon. 



69. On sait que le lieu géométrique de tous les points tels , que 

 8 soit le produit des distances de chacun aux trois plans des coor- 

 données rectangulaires, est l'hyperboloïde du troisième oidrexyz=8: 

 cette surface est aussi le lieu géométrique de tous les centres degra- 

 Tité des tétraèdres équivalents, interceptés par des plans sur le 

 trièdre droit des coordonnées; ou bien encore c'est la surlàce 

 dont les plans tangents interceptent, sur les trièdres droits des 

 coordonnées, des tétraèdres équivalents chacun à 36 (à démontrer 

 chaque fois). 



Or, 1° quel est le lieu géométrique des contacts [x',y',z') de tous 



