350 J. N. Noël. — Escr/ica 



les plans Uiigenls à la surface, menés du point donné (4,4,4)? 

 2° quel est le lieu géométrique du point où le plan, mené par l'axe 

 des y et perpendiculairement à tout plan tangent à xijz=S , va 

 couper le / du contact de ce dernier plan? (Discuter). 



De plus , si de l'origine des coordonnées rectangulaires , on 

 mène des perpendiculaires sur tous les plans tangents à la surface 

 xifz=a^; le lieu géométrique de tous les pieds est la surface du 

 6' degré 



Ce qui est remarquable , c'est que cette surface , composée de 

 quatre nappes , finies et égales entre elles, est scmhlahk à la surface, 

 lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées, 

 de l'origine des coordonnées rectangulaires, sur les plans qui for- 

 ment, avec les trois plans coordonnés, des tétraèdres équivalents 

 chacun au cube donné c\ 



Enfin , on peut résoudre des problèmes analogues aux précé- 

 dents , sur la surface j'y=8r. 



70. Lorsque l'origine des coordonnées rectangulaires est le mi- 

 lieu de la droite la , donnée sur l'axe des x: 1° le lieu géométrique 

 de tous les points tels , que a' soit le produit des distances de chacun 

 aux extrémités de 2a , est la surface de révolution , autour de l'axe 

 desx, décrite par la demi-lemniseatc (dont on sait calculer l'aire 

 totale), savoir : 



?'^2a' ces 2C0. 



2° Si les perpendiculaires aux extrémités de 2o , dans le plan des 

 xy, interceptent la longueur 1t, sur la tangente y=nx-\-h au point 

 (x' ,y') d'une courbe plane ; la circonférence décrite sur le diamètre 

 variable 2j coupe la droite 2a ou ses prolongements aux deux points 

 fixes (c,o) et ( — c,o) ; de sorte que c<^o ou e>a. Or , quelles sont 

 chaque fois les équations de la courbe cherchée , de sa tangente 

 et de la surface de révolution que cette courbe décrit autour de 2o? 

 Quelles sont, pour c<^a, les équations de la surface conique et de 

 la surface annulaire que décrivent, autour de 2o , la tangente au 

 point donné (x',iy') et le contour de la lunulle formée par les arcs 

 de la circonférence dont 2^ est le diamètre, alors donné? Enfin, 

 quelles sont les expressions des volumes engendrés par l'aire de 

 la lunulle, lorsque n=l ou an=: — b ou on=— c, sachant que 

 a'=i ■-[-(■' ? 



3° Résoudre des problèmes analogues pour l'ellipse passant par 

 les cinq points donnés : fl.l), (1,-1), (2,2), (2,-2) et (6,0) ; pour 



