de Polygonométrie analytique. 391 



Xi^sk COS (ttS— SUi^,-|-C)+D 



yi=2/isin (uz— 2ai^,+C)-^D ! 

 La constante C sera déterminée d'après la direction d'un côté 

 donné , et les deux constantes D et D' le seront d'après la position 

 d'un somme t 



V. 



Caractère général d'un polygone fermé et convexe. — Si les coor- 

 données d'un système de points sont des fonctions de l'indice telles 

 qu'elles ne changent pas de valeur par le changement de z en z-\-n, 

 par exemple de la forme. 



-^ . 2nZ 2nZ \ 



/( sin ,cos ), 



^ n n ' 



it étant = 180° et n un nombre entier , les points seront en nom- 

 bre fini. Nous aurons alors a;i+„^Xz et yt^i=yi, c. a. d le point 

 indice z-\-n se confondra avec le point z, ou bien le point n-^l avec 

 le point 1 , le point jî+2 avec le point 2 , le point m+3 avec le 

 point 3 et ainsi de suite ; ce système est rentrant , et le polygone 

 qui résultera de la réunion des points par des droites, sera fermé et 

 de n côtés. Afin de reconnaitre la forme du polygone, fesons tourner 

 une droite à partir des x positives vers les y , en lui donnant suc- 

 cessivement des positions parallèles aux côtés du polygone ; cette 

 droite qui indiquera la direction de ces côtés, sera appelée in- 

 dicatrice. 



Pour fixer les idées , considérons l'hexagone fig. 1 et suivons la 

 marche de l'indicatrice. Partant de l'axe des X, elle prend la posi- 

 tion ami dans laquelle elle indique la position du côté 1 — 2 ; de là 

 elle passe à la position am, parallèle au côté 2 — 3 ; puis elle vient 

 en ami parallèle au troisième côté , en am^ parallèle au quatrième, 

 ams parallèle au cinquième et ama parallèle au sixième. 



De la position am^, pour indiquer le côté 7 — 8, l'indicatrice 

 prend la position a?», qui se confond avec am^. Cette coïncidence des 

 deux positions aWi et am., de l'indicatrice indique celle des côtés 

 7 — 8 et 1 — 2. Donc , en général , dans tout polygone de n côtés, le 

 côté (n-j-I) ième coïncidera avec le premier, lorsque la position 

 am^j^i de l'indicatrice coïncidera avec la position am^. 



Nous aurons ainsi l'angle «i+i=w, , (dans l'hexagone w^=m,) : 

 Donc, dans un polygone convexe et fermé, il sera indifférent pour 



avoir la somme des angles a,-|-Ms-J"'^3"i" "^ ' ^^ chercher celle 



des angles a)5+«3+«4-t- ui+,. 



