392 A. C. UE CuYPER. — Principes 



Valeur de la somme des angles d'un polygone. — Nous avons vu 

 qu'en général , 



'*.^z^=îr Aâ5j„, = 7c (iX» — ^i— i) ■ 



donc , a,=Tz — a,-]-ai 



&)3=T — a-i-\-a, 

 M4=>t — a^-\-a3 



et fflj+co3-j-«4-(- -\-a„-\-a„:i.i=n^+ai — «„+, 



ou «i-j-Mj-j- o)^-=itiTz — (iz,i+, — a,) 



mais a, est l'espace angulaire parcouru par l'indicatrice depuis l'axe 

 des X jusqu'à la position am^, et cc^i-, est l'espace angulaire parcouru 

 depuis le même axe jusqu'à la position am„+, qui coïncide avec a, : 

 donc a„^, — ai est l'espace parcouru par l'indicatrice depuis la posi- 

 tion aiUi jusqu'à son retour à cette position pour indiquer le côté 

 (n+1) ième. 



Donc la somme des angles saillants , d'un polygone fermé et con- 

 vexe de n côtés , vaut autant de fois deux droits qu'il y a de côtés , 

 moins le nombre de droits que l'indicatrice a parcouru , en partant 

 de la position parallèle au 1" côté , jusqu'à son retour à cette même 

 position , pour indiquer le côté w+1 coïncidant avec le premier. 



Classification des polygones convexes et fermés. — En partant de 

 la position am, pour arriver à celle am„-^, coïncidant avec la pre- 

 mière, l'indicatrice peut avoir fait un seul tour complet , ou une 

 révolution autour de A , ou deux ou trois ou un certain nombre de 

 révolutions. 



Nous aurons donc diverses espèces de polygones convexes et fer- 

 més d'un même nombre de côtés que Poinsot a classés de la manière 

 suivante. 



Si l'indicatrice , de la position parallèle au premier côté jusqu'à 

 son retour , pour indiquer la position du côté w-f-l parallèle au 

 premier , a l'ait une seule révolution autour de A , le polygone est 

 du premier ordre. 11 sera du deuxième ordre , si l'indicatrice a fait 

 deux révolulions, du troisième ordre, si elle en fait trois , et enfin 

 du n ième ordre pour n révolutions. 



