446 M. Steichen. — Essai sur la théorie mathémalique 

 férencefi'=<), l'I ensuite l'aulre lernic doniicrn, par quelques réduc- 

 tions, la courhe du 4°"' degré : 



(.v''+^")'-*'(î/"+^'')+«'2;'-o- 



Cetle équation qui renferme deux constantes a , h et qui devient 

 seulement identique h celle de la Icmniscate ordinaire pour le cas 

 de a' = 2A\ exprime donc la courbe engendrée par le milieu d'une 

 droite constante a , assujettie à se mouvoir par les extrémités sur 

 deux circonférences égales dont la distance des centres vaut la lon- 

 gueur mobile. On peut nommer celte courbe tant pour sa forme que 

 pour la brièveté du lanfjage la kmniscatc générale : son équation en 

 coordonnées polaires est : 



p'' = b'{l—!^'' sin 'CÎ:')pour o=£.i : 



et elle donne lieu à une remarque intéressante dans le calcul des 

 fonctions elliptiques : en nommaut s l'arc de la courbe compté du 

 point E (fig. 9) , et faisant : 



E'(2— E']={'' : 

 en obtient : 



ils y^l-s'^sin'é' 



-r= — — • d0'- 



Et en siiiianl des transformations connues, on prouverait aisé- 

 ment que l'intégration de cette expression se ramène aux fonctions 

 elliptiques de seconde et de troisième espèces : voilà donc une pro- 

 priété générale dont la supposition de f'^2 n'estqu'uu tas particu- 

 lier déjà connu. 



Bcmarquons avec M. Dubois que quand on fait n=o, l'équation 

 (1 1) devient , eu égard à la valeur de Ni: 



n(p'-rf')(p'-rf')(X + Y|/-l)=o : 



ce qui fe décompose en deux facteurs l'un rationnel et l'autre ima- 

 ginaire : , 



(p'— d')(a— X— Y|/— l)=o. 



Le premier donne évidemment la circonférence de rayon d , tan- 

 dis que Je second qui est irrationnel et imaginaire ne doit rien re- 

 présenter , puisque l'on ne conçoit pas que l'extrémité de la droite 

 mobile sur le cercle d puisse donner le point X=a ; Y=o : c'cst-à- 



