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sur la Résolution des équations numériques. 23 



Multiplions les deux membres de l'égalité 1) par s„, a étant l'ex- 

 posant qui ne se trouve pas compris dans S^ i et s„ d'après ce qui 

 précède , désignant la somme des puissances v de m lettres a, b, c,...; 

 nous aurons d'abord 



Or, toutes les fois que, dans le second membre de cette égalité^ 

 le multiplicande Su=a -J-ô^-f-c"-}-... et le multiplicateur, tel que 

 (a'b^c'...)l auront la même lettre, telle que a, le produit partiel 

 aura la forme a Jj 6 c ... et la somme de pareils produits prêtera a 



une somme Sn,(»"—"''c .•.);-j-i; si, au contraire, les lettres des 

 deux facteurs sont différentes , la somme de pareils produits don- 

 nera évidemment lieu à la somme Sni.^.i(fl'ù^c' ...)i^i. Ainsi , le ré- 

 sultat de multiplication est 



et l'on en déduit 



' 2)... S^+i (//cVl=vSJa"6V)^-S^(«"nV...), ou 

 simplement 



S)— Sm+i, z+l=So.Sin_2— Sm(a" "è c'...)i 



C'est dans cette expression 2) ou ô) que consiste la récurrence ou la 

 loi médiate des sommes symétriques ; voici d'ailleurs son énoncé : 



Four passer d'une somme de l lettres à une autre de l-{-l lettres, 

 multipliez la première par s^ et diminuez le résultat de ce que devient 

 la somme de l lettres lorsque chaque exposant y recevra, tour à tour, 

 V accroissement a. 



Ainsi, à proprement dire, la loi 3) n'est autre chose que la sui- 

 vante : 



'i)---Sni+l,ZH-l=Su-Sm7?— (o" Vc''...)i-f 



-(aVc'+"...),-f- 



— etc., etc. , 

 en se rappelant ce que nous avons dit des sommes constituantes de 

 la somme symétrique Sjj,(a'' '"b^c^...)i. 



