20 J. Maiitvnowski. — Suite du Mémoire 



domaine de l'Analyse conibinaloii-c. Il se présente clans cette cons- 

 Iriiction deux questions , dont la première consiste à former et la 

 seconde ù donner le nombre des termes compris dans chaque agré- 

 gat. Pour former une somme telle !que, J\a.-\- (3-]-...) (/-j-^-j" ■••) 

 ...fÇ... composée des facteurs polynômes , ayant successivement et 

 respectivement n,v,V}, ... termes, ces facteurs polynômes étant 

 suivis des facteurs simples e,^ ... il faut cnmhiner les »« lettres a, 

 li,-/ ,S, ... en les prenant î< à «« ; à coté de chaque arrangement 

 mettre les combinaisons de m — «i lettres qui ne s'y trouvent pas en 

 les prenant v h v; a coté de chaque arrangement ainsi formé mettre 

 les combinaisons de m — u — v lettres qui ne s'y trouvent pas et 

 ainsi de suite ; puis, ii coté de ces résultats , dans lesquels on aura 

 soin de changer chaque combinaison nouvellement introduite en 

 facteur polynôme correspondant , ayant les facteuis de la combi- 

 naison pour termes , joindre les facteurs simples , compris sous le 

 signey, ces derniers ne pouvant se trouver dans les facteurs poly- 

 nômes de la somme f. Il résulte de là que , si les nombres ii ,v , 

 w , ... sont inégaux, le nombre d'arrangements compris dans la 

 somme y est donné par 



mCAi-m — uCv-m — u — vQ'W"-= — ; ; r, ; 



j«|l.^î)ll.j7<:|l... 



si , au contraire, quelques-uns de ces nombres u, v ,w , ... étaient 



égaux, le nombre mCu. m — icCv.m — ii — vCw. .., tantôt trouvé, 

 devrait être divisé par le produit d'autant de factorielles de la forme 



1 , (ju'il y a de systèmes des nombres ic,v,w , ... égaux, le degré 

 de chaque factorielic étant marque par les nombres m, w, w , ... 

 égaux. Cette dernière eiiconstance vient de ce que le signeyporte 

 sur les termes dissemblables , absolument de la même manière que 

 les combinaisons proprement dites ; et que la marche, qu'il faut 

 suivre, pour former la somme/; introduit la répétition des arran- 

 gements , toutes les fois que les facteurs polynômes , qui s'y trou- 

 vent, sont du même nom. Ajoutons encore ù ces considérations que 

 chaque arrangement de la somme /emploie la totalité des lettres 

 a,li, y, ... et (ju'aucune d'elles ne peut y être répétée. 



5° Si dans la somme S on éïale l'un des exposants à zéro, le 



m,n ° ' ' 



l'ésultat de cette réduction sera la somme 8 , multipliée par le 



m, 11 — 1 * ■ 



facteur m — »!-l-I. Il est aisé d'en eoneiiue ijuc si, dans la somme 

 S , tous les exposants a , fi ,y, ... X devenaient égaux à zéro , cette 



