30 J. Mattïnowski. — Suite du Mémoire 



i]i('ri{|iics, compris dans uni; colonne, sera un dos cociïicicnts de 

 la f'acloricllc générale a"' . Mais nous donnerons , dans l'arliclc 

 suivant, § VII , une consliuclion des facloiiellcs et celle des 

 nombres de BeniouUi, bien plus commode. 



L'expression îi) coni|)rend comme cas particulier la l'orniule (pie 

 nous avons donnée dans la N" 18, page 3"20, de notre Mémoire 

 [\o\. I, première partie de ce Recueil). 



— «a»^ — 



§ VII. — DIGRESSION SUR LES FACTORIELLES 

 ET LES NOMBRES BERNOULLIENS. 



GC. On nomme facioiiclle le produit a-{a-\-r)-(a-{-'2r) ... 

 (ti-\-m — !•)■) de m facteurs en progression arithmétique. 



On désigne par a"''' la factoriclle dont le premier fadeur est a , 

 le nombre des termes m et l'accroissement r ; a est aussi appelé 

 base, m le degré de la faclorielle. 



Il résulte de la définition de la faclorielle , qu'on a 



1°)... a'"" = {a-{-m — l'rf'-' : 

 parce qu'il est indilférent de prendre le premier ou le dernier fac- 

 teur pour base. 



Comme on a 



o("'+"'î'^=n(a+?-)...{o + »»— 1 •»•) X {a+mr)(a-\-m+i •»■)... 



(a-\-m-\-n — 1 •»•) 

 il s'ensuit que 



Comme , on peut échanger dans cette dernière identité les nom- 

 bres 7)1 et n , on a aussi 



3°) . . . al""*")'-' = 0^1'- {a + mry' = a"'' • (n -1- 7ii-)'^''\ 



De celle dernière identité, en posant «=0, on déduit 



4°) . . . o""''' = a"'" -(a + m rf" = a"'' • a""' , 

 c'est-à-dire 



\=a-{-)mf"=a''". 



Ainsi, (juelle que soit la base, la faclorielle dont le degré est 

 zéro , est nécessairement égale à l'unité. 



Si en 5)° on fait «^ — m, il vient 



S°)... «"'■• = a'""-{n-\ m/-)-"i'' = «-■"/'■.(((_/«,•)■"'■■ , 



