sur la Résolution des équations numériques. 

 de là on déduit les transformations suivantes : 



1 1 



. ('« 4- mr'l-'nf = . 



„mïr 



31 



G")... a-"'î'' = 



;, (a + TOJ-)-")'- 



(a—mrf'i^ 



67. Toute factorielle a"'"^ peut être développée suivant les 

 puissances ascendantes de l'accroissement. 



Donnons à ce développement la forme suivante 



1)... «"!''=(i™-l-(i,n2'a"-V-|-0îWi-o"-^r^ + ... 

 e,m, OjWi, esTO,... étant des fonctions de m, indépendantes de a 

 et r. 



En remplaçant m par m-}- 1, on aura semblablcment 



u)... o°'+'!''=of+'-|-e,(jn+i)'a°'-r+e=(»n+])-a""-'.)2 + 



•fe3(»K-{-l).a"-2. )•'-+- ... 



Or, si dans l'expression 3°) on fait n= 1 , on a 

 a"'"!'-=o(ffl+r)""î''=a"ï'^.(a +TOr). 



Donc, on peut obtenir le développement a) de deux manière'. 

 En remplaçant dans l'expression \) a par a-\-r, mullipli.int le 

 tout par a , développant et ordonnant , on aura : 



=a' 





• r-\-mC2 



+ e,9«-w — 1C2 



4-9 a"* 



f,m-l.,.s_J_„j(]5 



■^o,m-vi — i C2 



-\-B,ni-m — 2 CI 

 -\-Oim. 



En multipliant l'expression 1) par a-\-mr, on trouvera: 

 c)... a'^^^''^ = a'^*^-^{D,m-{-m)-a'"-r-\-(rhin-\-m-Dim)-a'^-^-r^-{- 



Cela posé, les développements en a), b) et c) étant ictentiques , 

 on trouve, en égalant les coefficients des mêmes puissances de r, 



aa)... o,OT=?)iC2 , 



2-o,»!==mC5+wj — 1 C2»o,»u , 

 5'83W2=»HC4.-j-?n — I Cô-(i,m-\-vi — 2 C2-ri,vi , 





i'O^m = mCo-\-m — 1 C4.'0,«î-j-w — '■âCô • Oi-\- m—^ C^- o^ni 

 bb)... o,(»î-l-l)=eini4-»», 



fi-i{m-\-\] = i>ïm +m»Oj?«, 

 e4(?H-]-l ) = 04»)*-}- in • (ijtn. 



û3(»H+l) = 03W+îH— 2CI •o,m-{-m — 1 Ci-o.m-^-mV') , 



()_',{m-\-\) = ii<i)n-\-m — ùCl-03m-\-m — 2C2*o,(h r'» — ' <-3-o,?H-fw!C4. 



