sur la résolution des équations numériques. 33 



Cela posé, suivant la loi c), nous aurons : 



«1 = 1, «3 = 2. a,, fl3 = o.a,, 04=4-03 ,." 

 et généralement 



aa)... Or= 1.2.3.4... »-=l'^i 



De même 



6, = 3.a,, 63=:4(6,+aJ, 64=5(63 + «3), ft5 = (6/, + «4)--- 

 ou bien 



6. = 3.a,, 63=4.a,-)-4.3.a, , 64 = S.03+S.4.a=,+S.4.3.a,... 

 el généralement 



66)... 6r=(r+l).|o^_i-l-ri!-'.(7,_2+r2'-'.nr-3+.-.+»'^-''"''-«.| 



Pareillement , 



C3 = S.6,, €4 = 6(63 + 63), C5 = 7(64+C4), c6=8(65+c.),... 

 ou bien 



03=3.6,, 04 = 6.63 + 6.3.6,, €3 = 7.64+7. 6. 63 + 7.6. S.6,,... 

 et généralement 



ce)... e, = (r+2)|6,_,+(r+l)iî-i.6,_o+(,+l)='-'.6,_3+...} 

 et ainsi des autres. Les résultais aa), bb), ce),... fixent définiti- 

 vement la nature des nombres e) ; on a : 



6r= (>+l).|ff,_i+rlî-'.a,_2 4- »-2!-».(T,_3+/-S!-1.0,_4+...| 



c,= {r+2). |6,_x + (r+l)''-i.6r-2+(r+2)2'-i.6,_3 + (r+l)3'-i.6'^-*+ ... } 

 ^r = ('+3).jor_i + (r+2)«-i.c,_2 + (r + 2)2'-'.e,_3+(r+2)='-^c,_4+...} 



en se rappelant que ces développements finissent par les termes 



en a,, 6,, 03,... et n'ont ainsi que r— 1, t — 2, r — 3,... termes. 

 4°) Définitivement on peut donner le développement de la fac- 



lorielle a™'^ et celui du nombre Bernoullien de la manière qui en 



fixe la forme et la nature ; les voici : 

 -a" = s,'-='"| [a, = l'ii],jiC»+l + 



+ [6, = (r+l)[ar,l + '-"~'-"r-2 + >^'-^.f/r-3+...].MCr+2 + 



+ [c,=(,+ 2)(6,_i+r+l>ï-'.6r_o + (j+l)^'-^6,_3+...].„Cri-5+... 



+ .. . _ . ..ja^-'.r, 



h signe s/=" désignant la somme prise par rappon à )•, de- 

 puis j-=l jusqu'à r=)i. Pareillement, on a : 



- [/,v=(r+l)(«,_i + ,-^'->.a._2+ r''-^B:.-3 +...)]. -^--^ + 



+['•^=('+2j(^-l+('+1)"-^^-2+(»+^)='-^^._3+...^].-L+..J 



r+0 ) 



