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§ VIII. - DES SOMMES SYMÉTUIQUES COMPOSEES. 



70. Les somiMcs syméiriqiics, traiti'cs dans le § VII, sont en- 

 core appelées simples, parce que le signe S„,,n ne s'applique qu'à 

 un monôme a" b^c'... formé d'un nombre n de lettres différentes 

 a, b, c,... affectées des exposants quelconques a, /3, /,... cha- 

 cune en particulier j mais, lorsque le signe Sm,„ s'ajjplique à un 

 polynôme algébrique, formé des lettres a, b, c,..., la somme 

 symétrique qui en provient, est à proprement dire, somme symé- 

 trique composée. 



Ramener le calcul des sommes symétriques composées à celui 

 des sommes symétriques simples, est le but de cet article. 



Les règles, à l'aide desquelles , on ramène le calcul des sommes 

 symétriques composées à celui des sommes symétriques simples , 

 constituent, nécessairement^ le calcul des sommes symétriques. 



Voici les règles de ce calcul : 



1° On prend la somme symétrique d'un polynôme algébrique, 

 en répartissent cette somme sur chaque terme. 



2° Le signe et le coefficient de chaque terme , se met en-de- 

 hors de la somme qui l'aflecte. 



3° Une somme symétrique est nécessairement homoyène, c'est-à- 

 dire la caractéristique Sm,n s'applique toujours à un même nom- 

 bre n des lettres différentes a, b, c,... quels que soient les expo- 

 sants de CCS lettres; s'il n'en est pas ainsi, c'est que les exposants 

 de quelques-unes de ces lettres , ont été égalés à zéro. 



4° En introduisant , sous le signe Sm,u de chaque somme par- 

 tielle, un nombre suffisant des lettres différentes, dont chacune 

 se trouve affectée de l'exposant zéro , on rétablit ïliomogénéité. 



h° Cette dernière opération revient à grouper les sommes symé- 

 triques , selon le nombre des facteurs significatifs , qu'elles com- 

 prennent réellement , de sorte que si le nombre de ces facteurs 

 est siiecessivcnient n, n — 1, w — 2,..., après avoir affecté ces 

 sommes partielles des cocificients numériques correspondants i , 

 m — n-\-\,(m — n-\-l)(m — n),..., selon ce qui en a été dit, 

 N° 63 , S° , le calcul des sommes symétriques se ramène à celu 

 des sonmics symétriques simples. 



Pour faire voir la portée de ces règles , dont l'ensemble cons- 

 titue, à proprement parler, le calcul des sommes symétriques. 



