j8 ,J. Mariynowski. — Suite du Mémoire 



La formule b) prôte à défaut, quand on y fait ?j=n. En effet, 

 on aurait, dans cette liyi]otlièse , 



Sni,2(/w+A«()»=()H.2— l)s.= (2m— 1)m 



tandis qu'on devrait trouver ni{m — 1) ce qui est le nombre des 

 racines et par conséquent le degré de la transformée. Ce paradoxe 

 vient de ce que, si dans le développement a) on suppose n=0 



ou bien n = — (un infiniment petit), tout se réduit au seul premier 



terme 



h' Sm.afl" = h' Sm,2n°6° = m (m — 1 ) . 



Les formules c) donnent la solution du problème proposé en 

 ce sens qu'on a les sommes des puissances semblables des racines 

 de la transformée cliercliée. 



Les formules c), lorsqu'on y fait h = k^l, donnent les sommes 

 des puissances semblables des racines de la transformée , dans 

 laquelle chaque racine est la somme des deux racines quelconques 

 de la proposée , savoir : 



S„,,2(a-l-6)' = 2(w— 1)..s-. , 

 Smfi[a+b)'- = 2(w— 2).s, 4-2C-1 .s.^ , 

 Sn>.2(a4-6)' = 2(»«— 2').s3 + 2.3Cl.v. , 

 So,,2(a+6)'' = 2(to— 2is^4-2.4CI .s:,s, + 4.C2.s,'- , 

 S„,2(«+6)= = 2(m-2<)..Si-f2.5Cl.S4S, + 2.5C2.S35,, 



etc. etc. 

 Le degré de la transformée est ici, comme précédemment 

 vi{t)i — 1). Mais, si l'on observe que les racines de la transformée 

 sont, deux à deux, égales, puisque l'une étant a-\-lj, l'autre 

 est l>-\-a, le degré de cette transformée peut être réduit à 

 i.m(tn — 1) en posant : 



Sn=,2(a-f'')"=l-2./m,2(« + '')" ! 



par suite de quoi , on aura : 

 fm,i[a-{-b)' ={m--\).s, , 

 /m,2(a+6r = (m-2).s,+i.2Cls.', 

 /m,2(a4-'')' = ('«— 2')-S3 + 3Cl..s,s., 

 ./rà,2(a + by< = («i— 2^).S4 + 4C I .s,.s, +{AC^2.s,'- , 

 ./;.,,2(« f by = (w— 2'').S5 + 3C1 ..V4.S, + 3C2.S3S. , 



etc., etc. 



Si h= !, /.= — 1, les formules c) donnent les somipcs des puis- 



