^2 J. iMartynowski. — Suilv du Mémoire 



Pour démontrer cette i)roposilioii , il faut se servir évidemment 

 du même raisonnement que celui que nous avons employé, N° 61 . 



Cette extension des sommes symétriques permet d'établir plu- 

 sieurs relations entre les sommes des puissances positives et néga- 

 tives, que l'on chercherait vainement par une autre voie; et ces 

 relations sont d'autant plus précieuses qu'elles peuvent servir de 

 preuve au calcul des sommes des puissances semblables, cons- 

 truites à l'aide de l'échelle de relation, donnée par Newton. 



Soit, par exemple, proposé de construire la transformée dont 

 les racines sont les quotients de deux quelconques de l'équation 

 donnée. On a : 



D'une autre part, si l'on observe que 



b ' ^ a c 'a (abc...)" 



donc 



c r «I n\ Sn,,2fo2"'6") S^nSn SSn 



&m,2(<l 6-") =,"5 ; -„= „,„ „ . 



{iim,mabc...) abc ... 

 En comparant ces résultats , on trouve : 



s„* _„ — m = -— — ; 



(«M...) 



d'où l'on lire : 



*3n = «2/n — (SnS-n — »") • («*C. . . )" 



abc... étant le produit des racines de la proposée. On voit, par 

 cette dernière formule, qu'on peut faire dépendre la somme S^n 

 des trois autres San , Sn et s-„ , tandis que , d'après la Méthode 

 de Newton, toute somme en dépend généralement de m autres, 

 î« étant le degré de l'équation. Ainsi, après avoir calculé les m 

 sommes s_i, 5_2, s_3,... s-m> la formule tantôt posée permettra 

 de calculer les autres sommes , comprises dans l'intervalle qui 

 s'étend depuis 1 jusqu'à 3n. 



Il en est de même de plusieurs autres propositions du même 

 genre. 



74. Il nous reste encore à parler des sommes symétriques des 

 fractions rationnelles , formées d'après une loi , avec les racines 

 de la proposée. 



Soit proposé de construire la transformée , dont chaque racine 



est une fraction rationnelle , telle que —r-. des deux quel- 



' a-f-b 



