sur la résolution des équations numériques. i9 



Il résulte de tout ceci que le coëdîcient général c^r du pro- 

 duit \(j s'obtiendra en faisant la partition du nombre kr et la dis- 

 tribution des lettres a,b,c,d,... entre les numéros de la parti- 

 tion ; puis en remplaçant o„ par fX • *^ par P^^'^fi ' S P""" 

 /5^'Oy,... Un terme quelconque, qui entre dans la construction 

 du coëlBcicnt fm , sera par conséquent de la forme : 



a^a^a^as ... Si^^nip'-p^^'P^'' ■('^^■■■) 

 Sr,n étant la somme symétrique des racines p,p'',p\... p' de 

 l'équation p' = 'l , prises n à n. 



81. Cette expression jouit des propriétés suivantes : 

 1° La partie littérale a^a^a.fls..., composée de 1, 2, ô,... et 

 au plus de r facteurs a^aMyOs,... est donnée par la partition 

 du nombre kr, de manière qu'on ait : 



a-\-/3 + y-hS+ ... = kr. 

 2» La somme symétrique, désignée ici par Sr,n, de laquelle 

 dépendent le signe et le coëflicient de Ccflaayai..., est formée 

 des puissances de p , dont les exposants sont de divers arrange- 

 ments que l'on peut faire avec les n numéros a, /3, v,... dis- 

 tribués entre les coefficients numériques 1, 2, 3, ... r. 



5° En faisant rattacher la somme Sj^n au produit de r infi- 

 nitonomes f^, yi,, pc;..., S '^ ; "" conclut que, si les n nu- 

 méros a, P, V, $,..., sont différents, le nombre des arrangements 

 qui entrent comme exposants de p , est rAn; et si, dans le nom- 

 bre n de ces numéros . il y a v numéros égaux à j? , w numéros 

 égaux à Ç,... le nombre des arrangements qui en provient ne 

 sera que rAn : l'''^A^fl... 



D'où il résulte cette conséquence qu'après avoir trouvé le signe 

 et le coefficient du terme en a^aoa... . par la considération de la 

 somme symétrique Sr.n, il faut encore diviser le résultat par 

 autant de factorielles de la forme 1°^' , qu'il y a de puissances u 

 d'une lettre numérotée. 



4° Comme les exposants de p peuvent être augmeiués ou di- 

 minués d'un multiple de r, on peut en conclure que, dans les 

 coefficients Cr, Car, csr,..., les ternies, dont les numéros divisés 

 par r donnent le même reste, out le même signe et le même 

 coefficient numérique. 



Cherchons maintenant à réduire la somme combinatoire Sr,n 

 à sa plus simple expressi:in. 



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