50 J. Martynowski. — Sailc du Mémoire 



Posons 



C = n, f'=''> /''==c,... 

 et la somme en question prendra la forme 



Sr,„V'-p2''-p="'...)=Sr,n(a"A/'c^..) 



82. Les réductions, que cette somme présente, sont les sui- 

 vantes : 



1° Si parmi les exposants «, /S, /,... il y a un multiple de r, 

 on peut supprimer cet exposant et mettre zéro à sa place. 



Or, supposons maintenant que, parmi les exposants a, ^, /,... 

 il y ait successivement 0,1,2,5,... multipliés de r. Comme les 

 sommes, qui en résultent , présentent successivement les nom- 

 bres des arrangements , désignés par 



rkn, rX{n—\), rk(n — 2),... 

 n étant le nombre des exposants, compris sous le signe Sr,a, 

 les quotients du nombre r\.n par chacun des suivants , savoir : 



r~-n-{-\ , (r — îi-t-1 )(>•—« + 2) , 



()■ — »(-f l)(r— n-f2)(/- — «-1-3)... 



sont précisément les facteurs numériques , qu'il faut mettre eu 

 évidence, par suite de la suppression de un, deux, trois, etc., 

 multipliés de r, parmi les exposants a, fi, /.... 



2° Lorsqu'on aura supprimé les numéros multiples de r, la 

 somme des exposants, compris sous le signe Sm,n , sera encore 

 un multiple de r, par suite de la construction elle-même de l'équa- 

 tion aux puissances des racines , qui n'admet que la partition des 

 multiples de r. 



Cela posé, on peut réduire la somme 



à une autre que a en exposant de moins. En effet, puisque la 

 somme des exposants a, H, /,... est un multiple de r, celte liy- 

 pollièse revient à poser 



a + /5+v-l-^+...=0. 



On peut donc, à l'aide de celte dernière relation , éliminer 

 l'un des exposants a, /3,v,... et réduire la somme Sr,n à avoir 

 un exposant de moins. Or, il n'y a pas raison d'éliminer un des 

 exposants a, /3, /,... plutôt qu'un autre; il s'ensuit que la somme 

 Sr,n peut cire remplacée par l'une de r suivantes : 



