S2 J. Martynowski. — Suite du Méiiiohr 



Dès le second groupe déjà on rencontre des exposants néga- 

 tifs; mais chacun d'eux pouvant cire augmenté d'un muliiple de 

 r, on écrira (/•— 1);S, (»■— 1)v, {r—l)S,... à la place de — /3, — y, 

 — S,... et l'on réduira ainsi le second groupe à être la niômc 

 chose que le premier. En opérant de la même manière sur les 

 autres groupes, on les réduira tous au seul premier, répété r fois- 

 La somme ainsi obtenue, que nous avons provisoirement désignée 

 par S, n'aura ainsi que les numéros (i,v,S,... distribués entre 

 les nombres 1, 2, 3,... jusque et y conijiris r — 1 , pris comme 

 coefficients. On a donc : 



OU bien : 



Sr,„(a«6''c>'... ) = r.S,_i,„-i ( b^cyd^... ) 

 n'importe quel que soit le numéro supprimé. De là vient la 

 proposition suivante. 



Si dans la somme symétrique des racines de l'unité , désignée 

 par S,,„(a«6^c"'...) 



dépourvue des exposants a, 0, /,... multiples de r, on a encore 

 pour œ-j-/^+''+--- "" multiple de r, on peut supprimer l'un de 

 ces exposants , pourvu que l'on affecte la somme réduite du facteur 

 r; de plus , si la somme proposée emploie toutes les racines de 

 l'équation p' = \ , prises dans la suite (3,/)%p^,... p% la somme ré- 

 duite n'en em])loie que les r — 1 premières. 



Pour fixer l'idée sur l'importance de cette proposition , propo- 

 sons-nous de former la somme particulière 



S5,4(a"4^t)Vd^) 

 dans laquelle a-f,'3-f v-l-J est un multiple de r, de sorte qu'on 

 peut aussi poser a-{-fi-\-/-{-3=0. 



On trouvera la valeur de cette somme, en ayant recours à la 

 formule ci-dessus page 24. 



— «a.f./;SSj + ^■■<c+^+l^y 



— Sc^+S^^'y + 2V-|-y4-jS^ 



— «^.f, Vo" -t- 2s^+,4.jSa 



— «(3+J''a'y + -V+^'y+J 



