sur la résolution des équations numériques. 33 



Mais si l'on observe que ^v ~ 0, «^3=0, *y = , .'j = , puis- 

 que, dans l'hypothèse établie, les exposants a, /3, y, $ ne sont pas 

 multiples de r , la somme en question se réduit à 



S5,i{a''b^c'é)=s^^p'y^.3-\-s^^yS^_^l-]-s^ySa^S—6s^j^^^y^s 

 et l'on retrouve cette dernière valeur, en posant 

 Si,i[a%Pc'd^) = nSi,i[a''bPci) 



pourvu que dans cette dernière expression on pose s, = — 1, 

 s,= — 1 , «3=— 1, «4= — 1 , ss = i , se = — l , etc., etc. 

 S» Supposons actuellement que , dans la somme symétrique , 



on rencontre un , deux , plusieurs systèmes d'exposants , multiples 

 chacun de r, systèmes que l'on retrouve toujours, en combinant 

 par voie d'addition , les exposants a, &, y,,., en les prenant deux 

 à deux, trois à trois, etc.; la somme en question est réductible par 

 rapport au nombre des exposants. 



Admettons que, dans la somme qui nous occupe, on rencontre 

 un système de ii exposants, dont la somme est un multiple de r, 

 ce système étant nécessairement suivi d'un, deux ,... ou plusieurs 

 exposants, dont la somme n'est pas multiple de r. Si , à l'aide de 

 la relation a-|-/3-|-y4-... = 0, on élimine, tour à tour, chaque 

 exposant , la somme proposée se réduira à l'une de u sommes ré«- 

 duites , dont chacune aura un exposant de moins. Comme il n'y 

 a pas raison , que ces u sommes réduites soient différentes l'une 

 de l'autre, la somme proposée pourra être remplacée par l'une 

 d'elles, répétée u fois. En raisonnant ici, pour ce qui concerne les 

 exposants négatifs , comme pour le cas où la somme de tous les 

 exposants donne seulement une relation a-|-/3-}-v + ..- = 0, on 

 trouvera 



Sr_i,„_i ( 0«6 Vd^...) = î( .S._i,n_i ( b?6'd^...) 



Pour deux systèmes comprenant u et v exposants, dont les 

 sommes respectives sont multiples de r, et dans l'hypothèse de la 

 proposition énoncée , on aura : 



Sr-:,„-l ( a%?6'd^. ..) = !/. f . Sr-l,n-l ( c'd^ . . . ) 



Pour trois systèmes, etc. 



4° Après avoir supprimé les exposants multiples de r et réduit 

 la somme proposée Sr,n à la forme Sr-i,., « — i étant le nombre 



