54 J. Maîitynowski. — Suite du Mémoire 



des exposants supprimés, cette dernière somme est , à proprement 

 dire, irréductible, c'est-à-dire, aucun des exposants i, qui entre 

 dans sa construction , ne peut être supprimé. Or, dans ce cas, la 

 somme symétrique Sr_i,i est la plus facile à calculer. En elTet , si 

 dans les formules du n' 62, on pose : 



«„=—!, sp=—l, Sy = — i, sj=— 1,... 



on aura successivement : 



Sm.ia'=-{, S„,2a='i''=(-1)M.2, S„,3a='6'^c''=(— 1)\i.2.3, etc. 



et, par conséquent, pour la somme irréductible, qui nous oc- 

 cupe en dernier lieu , 



Sr-i,i(a''6'^cV.. .)=(-])!. 1.2. 3 ... i. 

 80. Résumons maintenant toutes ces déductions. 

 1° La suppression d'un, deux, trois, etc., etc., exposants mul- 

 tiples de r, parmi les exposants a, /S, v,... de la somme symé- 

 trique Sr,n(a%^cy...) 



des racines de l'équation binôme p'^i , amène successivement 

 les facteurs 



»• — n-\-l, r — n-{-2, r — M-j-3,... 



et réduit le nombre n de ces exposants à ti — 1, n — 2, n — 3,... 



2° Lorsque l'ensemble des exposants a, /3, y,... offre seulement 

 un multiple de r, la suppression de l'un de ces exposants amène 

 invariablement le facteur r, et réduit la somme proposée de la 

 forme Sr,n à une autre de la forme Sr_],n-i, cette dernière ne 

 pouvant frapper que les racines de l'équation p'=l, différentes 

 de l'unité. 



5° Les réductions ultérieures de la somme Sr_i,n-i peuvent en- 

 core être continuées, s'il y a, parmi les exposants, des systèmes 

 comprenant respectivement n,v,... exposants, dont les sommes 

 sont encore multiples de r ; dans ce cas, la somme Sr_i,n-i se 

 réduit à Sr_j,n-2, Sr_i,n_3,... prise u, ti-v... fois. 



4° La somme Sr_i, n-i , censée irréductible, lorsqu'elle n'offre 

 aucun système d'exposants, dont la somme serait un multiple de 

 r, doit nécessairement et en dernier lieu , être remplacée par 



(— 1)"-M.2.3 ... (w— 2). 



S" Toutes ces opérations , s'il est nécessaire , étant achevées , 

 on a le signe et le coëdicient d'un terme dont la partie littérale , 

 donnée par la parlilinn, est aJi^Cy... Cela posé, il reste encore 



