J. N. Noël. -^ Noies sur Cabahsenient , etc. 93 



Comme j/'a représente un nombre que l'on peut toujours cal- 

 culer, soit exactement, soit avec une approximation suffisante, à 

 l'aide des tables de logarithmes , on voit qu'en multipliant par ce 

 nombre chacune des valeurs de x, dims les deux équations (1), 

 on aura chacune des valeurs de z , dans les deux équations propo- 

 sées. Ainsi la résolution de ces proposées est ramenée à la réso- 

 lution des équations (1), ou de x"= 1 et de a;'°= — 1 , c'est-à-dire 

 est ramenée à calculer les expressions des racines m ièmes du 1 et 

 de — 1 , par des radicaux du second degré. 



II. Si m est un nombre impair 3, S, 7, 9, 11, etc., il est clair 

 qu'en changeant x en — .x ou x en xX — 1, dans la seconde équa- 

 tion (1) , on reproduit la première; et dans ce cas , on aura toutes 

 les racines m ièmes de — 1 en multipliant par — 1 chacune des ra- 

 cines m ièmes de 1 . 



Considérons, par exemple, l'équation x' — 1=0 : elle revient 

 à (X— l)(x5+x+l) = 0. 



Pour que ce produit soit nul , il faut que l'un de ces deux fac- 

 teurs soit zéro; et comme il n'y a pas de raison pour que le mul- 

 tiplicande soit nul plutôt que le multiplicateur , il faut les égaler 

 séparément à zéro ; ce qui donne 



X — 1 = et x^-fx-f-l = 0; d'où 

 x=l et x = i(— l±v/— 3). 



Ainsi la racine cubique de l'unilé a toujours trois valeurs , dont 

 deux imarjinaires du second degré. De plus , on vérifie aisément que 

 chacxine de ces deux valeurs imaginaires , élevée au carré, reproduit 

 t autre exactement; et élevée au cube , elle reproduit l'unité , comme 

 cela doit être. — On vérifie d'ailleurs qu'en multipliant par — I 

 chacune des trois racines cubiques de 1 , on a les trois racines 

 cubiques de — 1. 



III. Si dans x" — 1=0, m est un nombre premier et par con- 

 séquent impair , et si a désigne l'une des racines imaginaires de 

 celle équation; je dis qu'en élevant a aux puissances 1, 2, 3, i,..., 

 m, on aura les m racines m ièmes de l'unité. (L'équation x"= — 1 

 ne jouit pas de cette propriété). 



D'abord, ayant «'"=1, on a aussi <ï™p=1 ou («?)""= 1, pétant 

 •<w; donc «i" est la racine m ièmc de lunitc. — Ensuite, les m 

 puissances de a sont différentes; car si l'on pouvait avoir a''*f = a", 

 on aurait aussi a^=i , et «serait la racine p ième de l'unité et 

 non la racine m ième , contrairement à rhypothèse. — Enfin , les 



