96 J. N. Noël. — Nutos sur l'abaissement 



jiuissances de a, supérieures à la m ième, reproduisent les puis- 

 sanees inférieures j car, à cause de a»^!, on a a™+2^a'°x 

 a*=a-. Donc la racine m ième de 1 ou de — 1 a toujours m va- 

 leurs différentes et jamais plus. 



IV. Observons toutefois que si m n'était pas un nombre pre- 

 mier, les puissances 1, 2, o, ... ,m d'une racine imaginaire a, ne 

 reproduiraient point les m racines ; car si m valait G , par exemple , 

 d'oùa^=l, on aurait (a')'=l ; donc «' serait la racine cubique et 

 non la racine sixième de l'unité. Il faut donc que tu soit un nom- 

 bre premier, dans x'°=l. 



Si m n'est pas un nombre premier , la racine m ième de l ou de 

 — 1 a néanmoins toujours m valeurs différentes, et jamais plus. 

 — Supposons »i=4, et voyons comment on peut résoudre l'équa- 

 tion x'' + i = 0. 



Il est clair que cette équation devient successivement : 

 (x'-i- i]- = 2x% a;--[-l = ± xj/2 



et K==b|^/2±5^/'—2=±i(l±^/— 1)1/2. 



Ainsi la racine quatrième de — 1 a quatre valeurs imaginaires 

 différentes , exprimées par des radicaux du second degré : chacune 

 de ces racines , élevée à la 4 ième puissance reproduit — i , 

 comme cela doit être ; mais les puissances 2 et 5 de l'une d'elles 

 ne reproduisent aucune des trois autres. Les mêmes observations 

 n'ont pas lieu pour les quatre racines quatrièmes de l'unité , 

 savoir: ±1 et ±\/ — 1. 



V. Résoudre les équations binômes a;'°:=l et x'°= — 1, c'est 

 extraire les m racines m ièmes de 1 et de — 1 . Or , si m est le 

 produit de deux facteurs p et q, premiers entre eux , on calculera 

 les m racines m ièmes de 1 , en midtipliant successivement chacune 

 des p racines p ièmes de 1 par chacune des q racines q ièmes de i . 

 Règle analogue pour le calcul des m racines m ièmes de — 1 . 



Pour démontrer cette double règle , il suHit d'observer que 



^'•'a=|/a'^Xl^^«' donne ;ji'-|-f/; = l. 

 Et puisque p et q sont donnés premiers entre eux, l'équation 

 piJ^qz=l fera toujours connaître les deux nombres entiers v et 

 z, l'un étant négatif nécessairement. De celte manière on trouve : 

 J/1=K1XI/1 Cl ^(_l)=^/(_1)x^(+l); 



,;>^=^/lx^^^ et i:?'(-i)=j/(-i)xi^(+i); 

 ^i-i,"rxj/i et ^\-\] = \y(-\)^ç^{+i). 



I 



i 



