ou second degré. ^' 



On verra |)Ius bas les expressions, en radicaux du second degré , 

 des cinq racines cinquièmes de 1 et par conséquent de — 1; on 

 peut donc aussi exprimer de celte manière toutes les racines de 

 1 et de —1 dont les indices sont : 5, 4, S, 6, 10, 12, 13, 20, etc. 

 VI. Considérons maintenant l'équation binôme qui résulte de 

 l'élimination de y entre les deux équations simultanées : 



x}j=a et a;°+î/°=0, savoir x^''-{-a'' = 0. ... (2) 

 Si o est positif, les 2n racines de cette équation sont imagi- 

 naires , évidemment. — Pour en faciliter le calcul , posons 



Bn ==a;"-{-î/" et v=x+y , ... (3) 

 t) étant une inconnue auxiliaire, dont la détermination fera con- 

 naître X par l'équation 



v^x-\-ax-^ ou X' — vx= — a. ... (4) 



Comme Ba= 0, il faut, pour calculer v, exprimer B„ en a et 



v; il faut donc en éliminer x et y , à l'aide des équations xy=a 



et x+2/=v. Or en effectuant les opérations, il est clair qu'on a 



an+2/" = (x-f 2/)(ac— V »/"-') — xij{x^-'- + y"'^) ; 



d'où Bn=«Bn_i — aBn_2. ... Ç)) 



Cette équation identique conduit à l'expression cherchée de B„ 

 en a et v; car ayant Bo = 2 et B, = t», on en déduit successive- 

 ment : 



B,= t)'— 2a, B3 = î;^ — ^av, 



B4=K't— -iati'+^a', 



B5=t;' — ^av^-\-Ba'v, f /g\ 



B6=î)«— 6ai;'i-|-9a'«^'— 2a% ^ '" 



B, = v^— 7av^^lAa^v^—7à^v, 

 B8 = t)'— 8aD«-f20aV— 16aV+2a*. 

 D'après ces formules , que l'on peut continuer aussi loin qu'on 

 voudra , on exprime aisément les valeurs de v , par des radicaux 

 du second degré, dans les équations Ba=0, B3=0, 64=0, B5=0 

 et B6=0. 



Considérons, par exemple, la dernière qui répoml à x"'-{-a'' 

 "=0. Il est facile devoir que les racines de 65=0 sont données 

 par t!»=2a et v^==1a±a\/'ô. 



Les six racines de 65= sont donc réelles. D'ailleurs l'équation 



x' — vx= — a donne x=\v±^y'{v'^ — 4a). 

 Substituant donc successivement les six valeurs de v, il en ré- 

 sulte les expressions, en radicaux du second degré, des 12 racines 

 imaginaires de x"-j-a''=0. 



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