98 J. N. Noël. — Notex .sur l'abamemcnt 



VII. Observons, avec M. Serret, que dans Icqualioii lî„=0, 

 où V esl l'inconnue, les n racines sont loules réelles. Soit en effet, 

 la suite (6) de fonctions de v , savoir : 



Ba,B„_,...., B3,B,,B,,B<,. ... (6) 

 On sait que B» est constant et égal à +2; on sait de plus que 

 trois fondions consécutives de la suite (6) sont liées par la rela- 

 tion B,], = vBn,-: — aBm_2. 



Le tliéorèmc de M. Sturm s'applique donc exactement à la suile 

 proposée. Si donc l'inconnue v varie , par degrés insensibles , et 

 passe par toutes les valeurs numériques , depuis — 2 jusqu'à -f2 

 la suite [b) perdra autant de variations de signes que l'équation 

 Bn=0 a de racines réelles comprises entre v= — 2 et î)=-J-2. 

 Or, pour f=— 2, on a 



B<,=4-2,B.=-2,B.=+2,B3=— 2, B4=4-2 , etc. 

 Mais pour v—-\-'2 , il vient 



B„=+2, B,=+2,B==+2,B3=+2, B4=+2, etc. 



Ou voit qu'en passant de «;= — 2 a «;=-j-2, la suite (6) perd ?j 

 variations de signes ; donc l'équation Bn =0 a ses n racines réelles 

 et comprises entre — '2 et -)-2. 



On voit de plus qu'autant la suite [b] perd de variations, depuis 

 t; = ;) jusqu'à v=q, autant l'équation Bu^O a de racines réelles 

 com|)riscs entre p et q. 



VIII. Pour nouvelle application, cherchons les huit racines ima- 

 ginaires de l'équation x''-{-l = 0. Ici a=\ et 



B4=î;4— 4.«'-[-2=0; d'où 

 v=±\/{\±\/Tt et par suite 

 a;=±il/(2±V/2)±ij/(-2±p/2). 

 Ainsi les 4 valeurs de v sont réelles, tandis que les 8 racines 

 huitièmes de — 1 sont imaginaires et exprimées par des radicaux 

 du second degré. — Pour a;"'-[-l=0, on a B8=0. Cette équa- 

 tion , en extrayant la racine carrée du premier membre, se partage 

 en deux équations du 4'°° degré, mais résolubles chacune comme 

 les équations du second. Il en résulte donc 8 racines réelles pour 

 V et l(j valeurs imaginaires pour a;, toutes exprimées par des radi- 

 caux du second degré ; et l'on peut aussi exprimer de cette manière 

 les 24 racines vingt-quatrièmes de — 1 ; etc. 



IX. Voyons maintenant comment on peut résoudre l'équation 

 binôme x"" — 1 =0, où l'exposant m est le nombre impair 2/j-|-1 , 



