au second degré. 101 



nôine résultante donne d'abord a;'=10±i/108. Ensuite , à cause 

 de a=— 2, de 6=20 et de B3=20 , on a 

 «3 + 6î;=20. 



Celte équation est satisfaite par v='2 ; donc la formule (11) 

 devient 



œ=(i±i/3Vi; d'où 2/=(^T^/3)^>'^. 



On aura donc les six valeurs de x et les six de y en mulii- 

 pliant successivement par les trois racines cubiques de l'unité, 

 savoir 1 et |( — 1±|/ — 3). On aurait les mêmes valeurs respec- 

 tives en supprimant \yi dans (H) et en y substituant successive- 

 ment r=2 et ii^—l±>/—l ; car tGj/ — i={T\/^±\^—'^)*- 



III. On vient d'extraire, d'après la formule (12), les six racines 

 cubiques du double binôme 10±l/208. Pareillement, si l'on veut 

 extraire les 8 racines quatrièmes du double binôme 17±V/288 , 

 on aura à résoudre l'un des deux systèmes d'équations : 



xy=l,x^-{-y''=ôi' et x-\-y=v; 

 3c^= — 1 , x''-]-j/'*=54 et x-\-y=v. 



Ces deux systèmes fournissent les huit mêmes racines qua- 

 trièmes cherchées : seulement les quatre valeurs de v sont ±21/2, 

 ±î\/ — 1 dans le premier et ±2, ±2(/ — 2 dans le second. 



IV. On peut aussi exprimer , par des radicaux du second de- 

 gré, les 16 racines seizièmes de — 1. D'abord l'équation x'''-\- 

 1^0 fournit la double équation trinôme 



x'-l-l=±x^(/2, d'où a:^-f-î/i=±l/2. 



Ensuite, à cause de xy=l, a=l et B4=±|/2, on a 



vi—iv-+'i=±\/2 et t)=±K2±j/(2±j/2). 



Ces huit valeurs de c sont réelles : si on les substitue successi- 

 vement dans la formule (11), où l'on supprime «/l (puisque v 

 ayant huit valeurs, x en aura 16), il vient, pour calculer les 16 

 valeurs imaginaires de la racine seizième de — 1, la formule 



a:=±il/2ztl/(2±v/2) ±ij/— 2±p/(2±v/2). 



V. On vient de voir que la résolution de l'équation binôme 

 a;'^-}-l=0 conduit à résoudre deux équations trinômes. De même, 

 l'équation x^ — 1=0 se résout |ar x^ — 1=0 et «.''-J-x'-f-l =0. 

 Celle dernière donne x^p' ( — i=fc^J/ — 5). Mais il est impossible 

 d'exprimer, par des radicaux du second degré, la racine cubique 

 du double binôme — iijj/ — ô. 



