102 J. iV. INoF.L. — Aote sur rabaissement 



Il n'en est pas de même de l"é(|iialion binôme .x' '+1=0. Ciliit 

 ('■qualion, cii ciïet , se partage dans les deux ac'-{-l=0 et x'" — 

 «'^+1=0; lesquelles donnent 



x=^—l Cl x=^(1±v/— ôjjJ'l. 



De sorte que les iti racines quinzièmes de — 1 , dont nue seule 

 — 1 réelle, sont exprimées par des radicaux du second degré; ce 

 qu'on a déjà remarqué plus haut. 



VI. Voici encore quatre systèmes et leurs solutions en x : 

 xij='i et x''-\-i/=—'&; d'où x=[\±\/ —\)^\; 



xy = \ et x'=4-2/'^=198; d'où «=(^±^/2)p'l; 



xy——Z et x^+if=lù'&\/ô; d'où x=:{\/ï}±y'6)\X\; 



xy=i et a;'+?/'=I6; d'où a:=(lTl/— l)k"1. 

 Dans le premier système, où Bj^ — 8 , on a t'=2 , etc. M;us 

 dans le dernier système , les 7 racines septièmes de l'unité ne peu- 

 vent s'exprimer par des radicaux du second degré ; et pour calculer 

 six de ces racines , il faut recourir aux tables trigonométriqucs , 

 d'après la formule de Moivre. 



VII. La formule (12) conduit à exprimer, par des radicaux du 

 second degré , les racines n ièmes du double binôme réel p^]/q , 

 p et q étant deux nombres quelconques réels, le premier ;) posi- 

 tif ou négatif, mais le second q toujours positif. Toutefois, pour 

 que ces racines m ièmes soient exprimées par des radicaux du se- 

 cond degré , il faut que l'on sache exprimer de cette manière toutes 

 les racines n ièmes de 1 , et qu'on puisse calculer une valeur de v 

 dans l'équation Bn = 6 , laquelle est du degré n en v. 



Soit i=>/ — 1 , d'où i'= — 1, etc. Considérons le double binôme 

 imaginaire p±çe, q étant un nombre réel positif et p un nombre 

 réel , positif ou négatif. Si x désigne l'une quelconque des 2jt ra- 

 cines n ièmes de ce binôme, on aura successivement : 

 x''^p±qi , x-" — 27Jx"-|-p*+9' = > 

 a''=p'-j-9' , a:"-|-a"a;~°^2/) et v=x-\-ax~^. 



Désignant toujours par En le binôme x"-{-a"x-'' et éliminant x, 

 comme on l'a vu plus haut , Bb sera exprimé en o et u et l'on 

 aura, pour calculer v, l'équation B,i=2p, du degré w en v. En- 

 suite, pour calculer les 2« valeurs de x, on aura la formule 



x = i/{p±qi)=l^v±l\/{v'—àa)-\Ç^'L ... (13) 



Pour que cette formule puisse s'appliquer, il faut d'abord que 

 p^+q^ soit la puissance n ième exacte d'un nombre entier a; il 



