au second degré. 103 



faut cnsuilc que l'on puisse calculer au moins une valeur de t; , 

 entière ou irrationnelle du second degré, dans l'équation Bn=2;j; 

 il faut enfin que l'on connaisse, en radicaux du second degré, 

 les n racines n ièmes de l'unité. On pourra donc exprimer , en 

 radicaux du second degré et à l'aide de la formule (13), les 2m 

 racines n ièmes de pizqi, si toutes les conditions ci-dessus sont 

 remplies. Or elles le sont : 1° pour n='5 , si p=±2 et g = 2 , ou 

 si p=±S et q=\/'i ; S" pour Ji=4 , si /)=±7 et ç:=|/32 ; 5° pour 

 «=3, si io=±5 et 9=11/3 , ou si p=±i et q=i ; A" etc. 



Il est fort rare que l'on puisse exprimer en radicaux du second 

 degré les 2ji racines n ièmes de p±qi; mais , à l'aide de la for- 

 mule de Moivre , on peut toujours calculer ces 2« racines par 

 logarithmes, d'après les Tables trigono métriques : chaque racine 

 est de la forme A+Bv/ — 1 , A et B étant deux nombres réels , 

 positifs ou négatifs. D'où il suit que le calcul des radicaux imagi- 

 naires de degrés pairs quelconques est ainsi ramené aie calcul des 

 radicaux imaginaires du second degré ; ce qui est beaucoup plus 

 simple. 



VIII. Posant toujours e=|/ — 1 et faisant p'-\-q'' = k' , on 

 trouve : 



y^(p±qi)=±y(ip^k)±iy/{ik-im). 



Par celte formule, si p^O et q=^l=k , il vient : 



j/î ou \yzr\==±y/'-±iyi. 



De même, si p=q=± |/i, d'où h=\ , on a les 8 racines hui- 

 tièmes de — 1, déjà calculées. On aura de même les 16 racines 

 seizièmes de — 1 , les 52 racines trente-deuxièmes, etc. On voit 

 que les racines de — 1, dont l'indice est 2", sont au nombre de 2' 

 et chacune de la forme A-}-Bî, A et B étant des nombres réels, 

 exprimés par des radicaux du second degré. 



IX. La décomposition du premier membre de l'équation , en 

 facteurs inconnus , quand elle est possible , partage parfois cette 

 équation en deux équations binômes ou trinômes , et conduit par 

 suite à exprimer les racines de l'équation proposée par des radicaux 

 du second degré. — En voici plusieurs exemples : 



1° Soit x'°-\-x^—x^+x'^-\-x^—x'>-\-x''-\-x~i—0. 



Cette équation se partage dans les deux équations trinômes , que 

 l'on sait résoudre , savoir : 



x'+x— 1=0 et x^-{-x'i+l = 0. 



