au second degré. lOo 



Bo = V^ [-a)nv-^' + (-«)' 'l^!^v''-^ + ... + 



1.2-Û.4...P ' ^ 



Réciproquement, n étant un nombre entier positif quelconque, 

 voyons quelle est l'expression immédiate en a , » et » de la fonc- 

 tion inconnue l{n) dont la série (14) est le développement. 



D'abord l'expression immédiate cherchée existe et conserve abso- 

 lument la même forme, pour toute valeur entière et positive de n; 

 de sorte que si n est un numéro de B , n reste encore un numéro 

 de B pour h=8, par exemple. Mais pour w = 8, on sait que la 

 série (14) exprime Bs; donc puisque l'hypothèse de «=8 donne 

 f(S)=B8, sans changer la forme de f(n) , il s'ensuit qu'avant celle 

 hypothèse, on avait f(M)=Bn. Donc, pour toute valeur entière et 

 positive de n , la série (14) exprime la valeur de Bn ; ce qu'il fallait 

 démontrer. 



Série circulaire. Soit 1 la mesure du rayon trigonométrique et 

 soit toujours posé « = j/ — 1. Comme il est évident que les racines 

 de l'équalion x^''-{-l=0 sont imaginaires, l'une quelconque de 

 ces racines est de la forme 



a;=cos5-}-îsins ou x=c+is , 

 en posant cosï=c et sinjz=s. Observant d'ailleurs que 



v=x-\-x-^ et Bn=x''-f-x""°. 

 on verra, par la formule de Moivre , que d=2c et Bn=2cosnz. 

 Ces valeurs étant substituées dans la formule (14), où a==l , 

 donnent 



2cosnz = ['2cy—H('2cY-'-+ Tl (Se)»-»— ... + 



ï m M 



„(,,_p_l)(»_p-2)...(»-2p-f-l) ^^^ 



^ ' 1.2.3.4 ...p ^ ' ^ 



Cette série importante , expression de 2 cos nz en fonction des 

 puissances de 2cosz, en fournit plusieurs autres et notamment 

 la série qui exprime le rapport de sin nz à s en fonction des puis- 

 sances de cosi;. (Voyez à la page 178 du Cours d'Algèbre supé- 

 rieure, par M. Serret, Paris, 1849). 



Expression du polvnôme Pn- On a calculé plus haut les expres- 

 sions en V des sept premiers numéros de P. Or , examinant com- 



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