106 J. N. Noël. — Notes sur l'abaissement 



ment chaque expression est composée du numéro correspondant 

 de P, on est conduit à poser 



i.-2 ---TK ') 1.2-5.../> 



(»-P-l)(»-r^)-("-^/-),.-3p-. + etc. ... (13) 



On démontre , comme plus haut , que réciproquement, la fonc- 

 tion inconnue f(»i) exprimée par la série (lo), est f()() = Pa pour 

 toutes les valeurs entières et positives de n. 



Méthode fonctionnelle. La méthode fonctionnelle , que nous 

 venons d'employer, fait trouver très-simplement la fonction dont 

 le développement est donné. Cette méthode repose sur ce que les 

 valeurs particulières de la variable ne peuvent changer aucune- 

 ment ni les opérations indiquées sur elle , ni le rôle qu'elle rem- 

 plit dans l'expression immédiate de la fonction inconnue ; de sorte 

 que, par exemple, si la variable x y est exposant, elle y reste 

 encore exposant pour x= — j, l/2, j/ — 4 ; et cela est évident. Si 

 donc l'expression immédiate de la fonction est co7imie pour des va- 

 leurs particulières de la variable, elle est connue également pour 

 toutes les valeurs possibles de cette variable. 



C'est ainsi qu'on démontre, fort simplement , la généralité 

 complète de la plus simple des séries binomiales. — Pour démon- 

 trer de même la plus simple des séries exponentielles et la décou- 

 vrir, cherchons l'expression immédiate de y ou f(x) dans l'équation 

 identique : 



2'='+"+-i+iT3 + 2XÏ+- + 2:5T3J + ^"'- 



Si x—\, la série, valeur de y, est assez convergente ; car on 

 démontre que la somme de tous les termes qui suivent le v ième 

 t est moindre que le quotient de / par v. Si donc on réduit en huit 

 décimales exactes les douze premiers termes de la série, lorsque 

 00=1, le douzième ne donne rien, ainsi que la somme de tous 

 ceux qui le suivent ; la somme des onze premiers exprime donc , 

 avec huit décimales exactes , la valeur de toute la série , et l'on 

 a 2/ = 2,71 8281 85. Soit e ce nombre décimal constant : on a donc 



y=e=e' et y = e^, vu que l = x. 



