au second degré. 107 



Pour x= — i, la série fournit un nombre de huit décimales 

 exactes, égal au quotient de 1 par e; donc alors 2/^e~' ou encore 

 y=é^, puisque — l^=x. 



Enfin, si a;=|, la série donne un nombre de huit décimales 



exactes, égal à la racine carrée de e; et alors on a y=e ou encore 

 y=Ê'', vu que 5= a;. 



Les hypothèses de x=\, x= — 1 et a;=ine sauraient changer 

 l'expression immédiate de y en e et x; donc, puisque chaque fois 

 on a y=e^, il s'ensuit qu'avant ces hypothèses on avait déjà y=e^. 

 Donc quelle que soit la variable x , positive ou négative , ration- 

 nelle ou non , et même imaginaire , la série proposée est tous 

 jours le développement de e^ : c'est la série exponentielle générale, 

 la plus simple et la plus usitée. 



Remarque I. La généralité complète de la série binomiale étant 

 démontrée, on en déduit facilement la série exponentielle ci-des- 

 sus. — Concevons en effet l'unité divisée en un nombre infini n de 

 parties égales à /> et par suite infiniment petites , de telle sorte qu'on 

 ait np = \. Soit e le nombre tel qu'on ait 



e =(1 +p)° ; d'où c^ = (14-;j)°-^ , 

 a; étant quelconque , nombre ou symbole. Développant d'après la 

 la série binomiale, où l'exposant «x est quelconque, puis rédui- 

 sant par np=\ ; il est clair que le développement résultant est 

 composé de deux parties, l'une indépendante de p, laquelle se 

 trouve en posant p = et qui est précisément la série exponen- 

 tielle désignée plus haut par y; tandis que l'autre partie a pour 

 facteur p et peut se désigner par kp. Ainsi on aura toujours 

 e^ = y-\-kp. 



La partie p étant infiniment petite , le produit hp est lui-même 

 infiniment petit , c'est-à-dire moindre que la plus petite partie ima- 

 ginable de l'unité. Si donc on devait conserver kp pour augmenter 

 y, il faudrait, pour énoncer et bien connaître la somme, dire 

 quelle fraction kp est de l'unité ; chose impossible , vu que kp est 

 d'une petitesse inassignable, comme échappant à l'imagination la 

 plus exercée sur la ténuité. On doit donc forcément négliger le pro- 

 duit kp ou le regarder comme absolument nul , et l'on a toujours 

 nécessairement e^=y. 



Remarque IL Soit toujours np=l , n étant infini et p infini- 

 ment petit et par conséquent t'anaWe , aussi bien que n: il est 

 clair que le développement de (l-f-p)" renferme une partie cons- 



