108 J. N. Noël. — Notes sîir Tahahacmcnl 



lante et une partie variable avec p. Soit e la partie constante l't 



hp la partie variable : on a donc 



C-f-Zip = (!-[-;;)■'; d'où {e -{- hpf = {\ -\- pY'' . 



Développant, d'après la série binomiale , et réduisant à l'aide 

 de î!p = 1 ; le premier développement sera évidemment de Ih 

 forme e^ + mp, tandis que le second se composera de la série y 

 ci-dessus et de la série kp. On aura donc l'identité 

 e^-\-mp=^y-^kp; d'où e^ = y-\-{k — m)p. 



Dans cette équation, toujours exacte, les quantités e, x cl y 

 sont constantes, mais {k — m)p est variable avec le nombre infini- 

 ment petit j^;. Si donc le facteur binôme k — m n'était pas nul, la 

 quantité constante e^ serait toujours égale à une quantité variable; 

 chose absurde. On a donc nécessairement k — ni—0 et é^=y; 

 ce qu'il fallait démontrer. 



Remafique m. Par la rèrjle des variables auxiliaires, que nous 

 venons d'appliquer , les séries binomiale et exponentielle fournis- 

 sent directement la plus simple des séries lorjarithtniques. On pose 

 e°=i+aî/ d'où /(l-ha-) = m/e et e'"^ = (l+xf. 



Substituant les développements des deux membres de cette der- 

 nière identilé, puis supprimant 1 départ et d'autre, et divisant 

 par s; il est clair d'abord que le premier membre de l'identité ré- 

 sultante est m-\-kz. Ensuite, pour avoir, dans le second membre 

 la série S des termes indépendants de r , il faut y poser ;:=0 ; ce 

 qui donne aisément 



S=x — lx^+\x^ — \x^-\-\x.'^ — i as"-!- etc. 



Si donc on désigne par hz l'ensemble des termes du même se- 

 cond membre qui ont z pour fadeur, on aura 



ni-^-kz ^ S -j- /«: ou >» = S -(- [h — k)z. 



Dans cette équation , toujours exacte , les termes m et S sont foji- 

 siants avec e et a;, tandis que le produit (h — k)z varie avec z. Si 

 donc h — k n'était pas nul, la quantité constante m serait toujours 

 égale à une quantité variable; chose absurde. Il faut donc que 

 h — k=0 et m = S; d'où 



l{\ +x) = ?e(x— |x''-f- jx'— ix^-f etc.) 



Equations du troisième deghé. — L'application de l'Algèbre aux 

 problèmes déterminés de géométrie conduit souvent à des équa- 

 tions finales du troisième degré et même du quatrième , dont il faut 

 construire les racines réelles. Or, cela exige que ces racines soient 



