110 J. N. Noël. — Notes sur l'abaissement 



que deux racines sont égales et de signes cnniraircs , dans la 

 seconde. 



V. A l'aide des relations entre les racines et les coëfïicients de 

 l'équation générale du troisième degré, on peut calculer les con- 

 ditions que CCS eoëfficients doivent remplir, 1° pour que deux 

 racines soient ou égales entre elles ou égales et de signes contraires; 

 2° pour que les trois racines soient ou en proportion ou en équi- 

 difference continue: chaque fois, si les conditions sont remplies, 

 on peut calculer les trois racines de l'équation proposée. 



Réciproquement, on peut calculer le coefficient inconnu et ré- 

 soudre les deux équations ci-dessous , si l'on sait que les racines 

 sont en proportion continue, dans la première, et en équidiffé- 

 rcnce continue, dans la seconde, savoir : 



a;3—21a;'fgx — 216 = 0, 



a;'— 2la:'-)-122x — r=0. 



Équations du quatième degré I. Soit d'abord l'équation 



x'' — 2px' -\-p'^x~ — w = 0. 



Si p est un nombre donné , mais m inconnu, on peut toujours 

 disposer de la valeur de ?« pour que la racine i"" de m soit une 

 racine de l'équation proposée; et pour cela, il faut que m = ^p'^; 

 d'où x=^p. iMais, pour celte valeur de m, on a encore x=^;3± 

 jPI/2. — On trouve aussi que x='-^p répond au maximum de 

 m, savoir in=-^p'*; tandis que x:=p répond au minimum de 

 m, savoir ?>î=:0. 



II. D'après les relations entre les racines et les coefficients de 

 l'équation générale du quatrième degré , on peut calculer les con- 

 ditions que les coefficients doivent remplir, 1° pour que deux raci- 

 nes soient ou égales entre elles ou égales et de signes contraires; 

 2' pour que les racines soient ou en proportion ou en équidifférence : 

 chaque fois , si les conditions sont remplies , on peut calculer les 

 racines. 



Par exemple, dans les deux équations ci-dessous, on calcule 

 aisément les quatre racines de chacune , si l'on sait qu'elles sont 

 en proportion dans la première et en équidifférence dans la se- 

 conde : 



x'i — 1 Sx' -f 80x* — r/r + 1 44 = , 

 x'< _ 22x' + 17ox°- — rx -f 720 = 0. 



III. Lorsque les racines sont en progression géométrique , on 



