112 J. N. IVoEL. — Aoles sur l'abaissement 



On résoudrait de même les équations finales dans les deux 

 systèmes : 



x+y = a et x^-\-i/ = c'>, x-\-ij=a et a;'+2/= = 6\ 

 On peut aussi résoudre complètement le syslcrae : 

 x^ = y^-\-a^ et xy=ax — cy. 



V. La méthode précédente revient à décomposer l'équation du 

 quatrième degré en deux équations du second : cette décomposi- 

 tion se présente immédiatement dans l'équation 



x^— 2a;3— 4a;'— 2x — S = , 

 en observant que — 4a:'= — b*^-}-x^; mais cette équation n'est 

 pas résoluble par extraction de racine carrée, comme l'est x'' — 

 tia;' + 8a:2 -}- 4x— 4 = 0. 



VI. Lorsque la décomposition du premier membre en deux fac- 

 teurs du second degré en x ne se présente pas immédiatement , 

 on y parvient parfois comme il suit : reprenons l'équation générale 



x'>-\-nx^-\-px''-\- qx-\-r = (i. 

 Si l'on identifie son premier membre avec le produit des deux 

 facteurs trinômes x"- -Y lix-\-k et x''--\-h'x\k', on aura , pour cal- 

 culer les coëdicients A, h', k et A', les quatre conditions : 



h+h'=n, hh'-\-k+k'=p, kh'+hk^=q et kk^=r. 



Pour simplifier l'élimination , il suffit d'essayer, pour k et kf, les 

 deux facteurs donnés de r ; car la première et la troisième des re- 

 lations ci-dessus étant du premier degré par rapport aux inconnues 

 /( et II', en feront connaître aisément les valeurs, et ces valeurs de- 

 vront, avec celles choisies de A; et k', satisfaire à la seconde relation, 

 et par suite aux quatre : si non , il faudra essayer un autre couple 

 de facteurs de r. Et si aucun couple de facteurs ne satisfait aux 

 quatre conditions , l'équation proposée ne pourra se décomposer 

 en deux équations du second degré. Mais dans ce cas, pour n=0 

 et en posant h^^^n, l'élimination conduit à une équation complète 

 du troisième degré en u. (Voyez la haute Algèbre). 



VIL Considérons l'équation , non résoluble par extraction de 

 racine carrée et dont la décomposition en deux équations du second 

 degré ne se présente pas immédiatement , savoir : 

 x'î-^-ox- — 4x-{-6 = 0. 



Essayant k=2 et //=3, on a h-\-h'-=0, 2/t'4-3/i = 3 et 

 hh'+H =—4. 



Les deux premiers de ces trois conditions donnent A = 3 et 



