116 J. N. Non.. — Noirs sur l'aljaissi'ment 



loutes les fois qu'il existe des reintloiis particutières et données 

 entre plusieurs raeines; comme pour des rncincs égales entrtt elles 

 des racines égales et de signes contraires deux à deux , etc. Si l'on 

 a , par exemple , 



a;»— 6a;'+18x'=— û4.x5-|-42x^— 34a;'-[-18x'— 6x+l=0. 



On verra, dans cette équation réciproque, que la transformée 

 en V, savoir P4=0, a deux raeines égales à 2, tandis que la pro- 

 posée en X a quatre racines égales 1. Aussi son premier membre 

 est-il divisible quatre fois successives par x — 1 ; et le quotient , 

 égalé, à zéro, donne l'équation réciproque 



a;4_2x'4-4x>— 2x+l=0. 



X. Si les racines de l'équation sont en progression géométrique et 

 que le dernier terme et les coefficients des deux premiers soient 

 seuls donnés; il est bien facile de résoudre l'équation. Par exem- 

 ple , soit 



x';_«^x'^+AxHBx'+Cx'+Dx-f8 = 0. 



Puisque les racines sont en progression géométrique , soit a la 

 première racine ou le premier terme de la progression et soit r* 

 la raison : le dernier terme 8 étant le produit des racines cher- 

 chées , on a 



aV° = 8, a»-' = l/2 et a = t—"''\/'2. 



Multipliant successivement par r', on aura les expressions des 

 autres racines ; et comme la somme des six racines est égale au 

 coefficient du second terme, pris en signe contraire, on a , pour 

 calculer r, l'équation réciproque : 



Posant j--j-r-' = f , la transformée se réduit à 

 ^5 — 4(;'-j- ôv — 63 sur 4j/2^0. 

 Et si , pour faire disparaître le radical , on pose v=z sur |/2 ; 

 on trouve : 



2!_8i:54-12c— G3=0; d'où -- = 3, puis 

 t; = 3sur|/2, r=l/2 et r=l suri/2,)-«=2 et ' = =1. 

 Par r5=2, les six racines cherchées sont :j, j,f,2,4, 8, 

 tandis que par r'=5, elles sont: 8,4, 2, 1, 3, \. Chaque fois 

 on a la même progression géométrique. 

 On calculerait de même les racines en progression géométrique 



