au second degré. 1 17 



ilans chacune des équations réciproques : 



a.7_i|ix'=4.Ax=— Bx4+ Bx'— Ax'4-if x— 1 =0. 



XI. Connaissant seulement les coefficients p et ç, on peut tou- 

 jours calculer, par radicaux du second degré, les ji racines eu 

 progression arithmétique dans 



x"+px''-H?3c''-2+ ... -{.tx-\-u=Q. 

 Soit en effet , a la première racine ou le premier terme de la pro- 

 gression et soit r la raison constante : comme la somme des m 

 racines cherchées est égale à — p, on a d'abord 

 ?î(2a-{- nr — r) = — 2p. 

 Ensuite, q étant la somme des produits des n racines combinées 

 deux à deux, il est clair que si S^ désigne la somme des carrés de 

 ces n racines , on a 



S,=p'— 2^. 

 Comme l'expression de S^ est du second degré par rapport aux 

 deux inconnues a et r, celles-ci sont déterminées par deux éjua- 

 lions , l'une du premier degré et l'autre du second ; par conséquent 

 les n racines en progression arithmétique , si elles ne sont pas ra- 

 tionnelles, seront exprimées par des radicaux du second degré. 



Reste donc à calculer S^; or, comme la somme des n premiers 

 termes de la progression est de la forme Ak' -{- B/i , il est naturel 

 de poser 



S, = An'-f Bn'4-Cn, 



les coefficients A, B, C étant inconnus et indépendants de n. 

 On a donc aussi 



S.-|-(a-l-nr)= = A(n+l)'+B(n-fl)=-fC(«+l). 

 L'élimination de S, fournit une équation identique, de laquelle 

 on déduit les valeurs des coefficients A , B , C et par suite 



S,=ijî(» — \.){1n—\y-\-arn{n — \)-{-a^n. 

 Pour a=r=l et pour a=:l, r=2, on a les expressions de la 

 sonune des carrés des n premiers nombres entiers et de la somme 

 des carrés des n premiers nombres impairs. 



XII. Considérons encore les deux équations 



x'°-|-x* — 14x^ — 14a;4-l-x=-^l =0, 

 x«-f x'+2x«-l-3x=+5x^— 2x^-fx — 1=0. 

 La première est réciproque; et il existe plusieuis manières d'en 

 exprimer les 10 racines par des radicaux du second degré. Ces 



