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10 racines sont égales et de signes contraires deux à deux, et 

 qualre des six racines imaginaires forment la inctnc proportion (pic 

 les quatre racines réelles. 



Quant à la seconde équation proposée, elle n'est pas réciproque, 

 comme on pourrait le penser au [)rcmicr coup d'œil ; elle n'a 

 point de racine ralionnelle, puisqu'elle n'est salifaite ni par x = l 

 ni par x= — 1 ; enfin, la méthode des racines égales est ici impra- 

 ticable, par la complication des calculs. Il n'y a doue que la décom- 

 position en facteurs inconnus , si elle est possible , qui puisse con- 

 duire à résoudre par radicaux l'équation proposée. Or, cette équa- 

 tion peut d'abord s'écrire ainsi : 



(a;H2x«— 2a'— l)-fa;(x6+3x4-f3x'-fl)=0. 



Sous cette forme la décomposition, devenue plus facile, fait 

 voir que l'équation revient à 



(x'-fl)'(x'-f-a:— 1) = 0. 



Systèmes symétriques. La résolution d'un système d'équations de 

 degrés quelconques, à deux inconnues xety, exige l'élimination de 

 x; or, bien que l'ebmination , par addition ou soustraction d'équa- 

 tions ( pour en faire disparaître les deux premiers termes, puis 

 les deux derniers , etc. ) soit la méthode générale la plus simple , 

 elle peut néanmoins donner lieu à des calculs fort compliques et 

 devenir par suite impraticable. Il faut alors suppléer, s'il est pos- 

 sible, à celte méthode générale d'élimination par des méthodes par- 

 ticulières, indiquées souvent par l'inspection attentive des deux 

 équations à résoudre ; surtout quand celles-ci sont symétriques , 

 c'est-à-dire ne changent point en y remplaçant x par y cl y 

 par X. 



11 existe un grand nombre de systèmes de deux équations symé- 

 triques que, par des éliminations particulières ou à l'aide d'in- 

 connues auxiliaires , convenablement choisies , on peut ramener 

 à un ou plusieurs systèmes de la forme x-\-y^p et xy^ q, c'est- 

 à-dire ramener à une ou à plusieurs équations finales du second 

 degré. C'est ainsi qu'on résoudra chacun des trois systèmes : 

 x+y=a , x-\-y=a, x''-{-y^=b , 



x2/(x'-}-î/')=t x(/(x'-j-)/')=6 xy{x^+y')=c. 



Dans le premier système, on élève au carré la première équa- 

 tion , pour en déduire la valeur de x'-j-y', que l'on substitue dans 

 la seconde équation : il en résulte deux valeurs de xy, et par suite 

 quatre solutions des équations proposées. — Ces solutions se rédui- 



