au second degré. 119 



sent à deux, soit pour le maximum île a, soit pour le minimum 

 de b. — Il serait beaucoup moins simple de substituer , dans la 

 seconde équation proposée , la valeur a — x de y, tirée de la pre- 

 mière; car alors l'équation finale en x serait du 4"° degré est réso- 

 luble par extraction de racine carrée. 



La même observation s'applique au second système proposé : on 

 élimine simplement en élevant au cube la première équation , etc. 

 — Quant au troisième système , il suffît d'élever au carré la seconde 

 équation proposée , en ayant égard à la première. 



On voit bien , d'après cela , comment on peut résoudre complè- 

 tement chacun des systèmes : 



xyix+y)^iS, 1 xy(x+y)^l2, I xy(x+y)=Si , 



(x+2/)(x=-|-y')=120 ! x^+y^=lO I x^+y^=9l. 



{x+y){x'+y^) = l^ , 

 {x'+y^X^i-{-yi) = 8o. 



x'+2/'=10, I x'-+y^—xy = 7, 



Dans les systèmes 4°" et 6°", on emploîra les inconnues auxi- 

 liaires /> et ç, savoir : p=x-\-y et q=xy. 



Considérons maintenant des systèmes de trois équations symé- 

 triques, à trois inconnues x, y, z, tels que les suivants : 



xy-\-z^=\\ , xyz — x — y — 3=0, x-\-y-\-z=7 , 



xs+2/'=7, x2-j-2/=-l-r==14 , z='îxy , 



yz-{-x^=7. xy-{-xz-{-yz=ll. x^-\-y^-\-z^=7ô. 



Dans le premier système , les deux dernières équations four- 

 nissent d'abord les deux conditions x^y et z=x-{-y, en vertu des- 

 quelles le système admet huit solutions différentes et réelles , Lien 

 faciles à calculer. 



Quant au second système , ajoutant le double de la troisième 

 équation à la seconde, on trouve x-|-2/-f-~=±6 ; d'où xî/z=d=6. 

 Ainsi, d'après la composition des coefficients avec les racines, les 

 inconnues x, y, z sont chacune les trois racines de chacune des 

 deux équations : 



i3_6<i-fl/tf_6=0 et ?î-l-6<'-l-14f-{-6=0. 



Le second système proposé admet donc 12 solutions entières, 

 faciles à calculer à l'aide de la méthode des divisions successives. 



En général , tout système de trois équations symétriques fournit 

 une équation finale du troisième degré , lorsqu'on peut le rame- 

 ner au système symétrique que voici : 



■^-\-V-\-^=P , ^y+3:zi-yz=q et xyz~x ; 



