120 J. N. Nom. — .\'o(i'« sur l'aljahxouicnt 



p, q, r étant des nombres donnés, [lositifs ou négatifs. La eonifio- 

 sition des coefficients avec les racines apprend, en elTet, que dans 

 ce cas, les inconnues x, y,z sont cliaeune les trois racines de 

 l'équation 



<'— p.' + ryj— r=0. 

 C'est ainsi que l'on résoudra chacun des systèmes : 





xy+xz-{-yz='2&, 



x''-\-y^-\-z^ = ^o5' 

 Dans le premier système , si on élève les deux premières équa- 

 tions au carré , en ayant égard à la troisième , on verra que les 

 carrés a;^, y', 2' sont chacun les trois racines de 

 <'— 14.«'+49<— 36 = 0. 

 Et comme le produit xyz doit toujours égaler 6 et être positif, 

 on en déduit les 12 solutions entières du premier système proposé. 

 Systèmes de points sur le plan. Dans la géométrie analytique 

 si X et 2/ désignent les coordonnées d'un point quelconque du plan , 

 tout système de deux équations en x et y détermine autant de points 

 de ce pian que ce système a de solutions réelles différentes, — Con- 

 sidérons par exemple, les systèmes, à coordonnées x cty rectan- 

 gulaires : 



a!'+i/'=20, 

 a;'t-j-2/4_a;'y'=208. 



a;«-f 2/3 ==6362, 

 xi— 2/1 = 80. 



x'-2/' = 4, xy=^, 



a;4+j,4=i7. a;8^y8=257_ 



• Le premier système admet les huit solutions entières : 



a"=4,2,_2,-4, 4,-2, 2-4, 



2/ = 2,4, — 4,-2,-2 —4,4-4, 2. 



Ces huit solutions représentent huit poiiUs du plan bien faciles 

 à construire. Par ces constructions , on reconnaît que les huit 

 points obtenus sont les sommets d'un octogone symétrique dont le 

 centre est l'origine des coordonnées rectangidaires. Des huit côtés, 

 parallèles deux à deux, quatre ont chacun 4 pour mesure et les 

 quatre autres valent chacun 2l/2. Enfin , l'aire de l'octogone 

 symétrique peut se diviser en 14 carrés égaux ou ayant chacun 2 

 pour mesure du côté. — Les quatre autres systèmes délcrmincnt 

 chacun un octogone symétrique, semblable au précédent. 



il 



