au second degré. 121 



Soit le système : x-\-y=l et x^-\-ix'^ — 7x' — ôix — 24=0. On 

 en déduit quatre points en ligne droite (à démontrer). De même, 

 si l'on a x-|-j/=1 et ISx"^— 43x^—146x5 f410x^—l/i.6x»— iax-}- 

 18=0: il en résuhe six points en ligne droite, diagonale du tra- 

 pèze dont les deux bases sont les ordonnées des deux points extrêmes. 

 — Calculer le périmètre et l'aire de ce trapèze, les coordonnées 

 étant rectangulaires. 



Systèmes de points daxs l'espace. Les solutions réelles de tout 

 système de trois équations, aux coordonnées x, y, z inconnues , dé- 

 terminent autant de points de l'espace. Soit , par exemple , le 

 système : 



^■'=xy, x'4-jy'-j-r» = 2f et x*-f (/''-|- "^=270. 



Eliminant c', puis élevant au carré l'une des deux équations 

 résultante, en ayant égard à l'autre, on trouve les huit systèmes 

 de valeurs correspondantes ci-dessous : 



x = 4, 1,-1,-4, 4, 1-1-4, 



y = l, 4,-4,-1, 1, 4,-4,-1, 



r=2, 2, 2, 2,— 2,— 2, —2, —2. 



Si donc les coordonnées sont rectangulaires , il est faciic de 

 construire les huit points de l'espace déterminés par les huit solu- 

 tions précédentes. On reconnaît aisément , par ces constructions , 

 que les huit points obtenus sont les sommets d'un parallélipipède 

 rectangle, divisé en deux parties égales par le plan des xy et dont 

 3l/2,2j/2, 4 sont les mesures des trois dimensions. 



Voici encore un système, avec ses différentes solutions : 



x'4-î/'+c»=14, 



x=l,2, 3,— 1,-2,— 3, 

 j/=2, 3, 1,-2,— 3,-1 , 

 z=3, 1, 2,-3, — 1, — 2. 

 Si donc les coordonnées sont rectangulaires, il est bien facile 

 de construire les six points déterminés par les solutions précédentes. 

 Ces points sont les sommets de deux triangles équilatéraux, égaux 

 et parallèles, le côté et l'aire de chacun ayant pour mesures res- 

 pectives y& et ^V/27. De plus, la distance de l'origine à chacun 

 des six sommets, ayant |/14 pour mesure, il en résulte deux 

 tétraèdres égaux, ayant l'origine pour sommet commun. De sorte 

 que les mesures de la hauteur et du volume de chaque tétraèdre 

 sont : 2l/3 et 3. Enfin, les six points proposés sont les sommets 



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