122 J. N. Noël. — Nules sur l'abaissement 



d'un prisme trianrjulaire, ayant 18 pour mesure du volume. (Pour 

 d'autres applications, voyez la 2° édition du Traité de Géométrie 

 analytique, p, 28b et suivantes). 



Maximums et minimums î. Le calcul du maximum et du minimum 

 de la fonction m est bien facile lors(|ue cette fonction entre dans 

 une équation symétrique par rapport à deux variables inconnues 

 X et y, comme dans l'équation homogène : 



D'abord , puisque celte équation est symétrique par rapport 

 aux variables ce et y, elle reste absolument la même lorsqu'on y 

 change x en y tiy en x; le maximum ou le minimum de la fonction 

 m reste donc aussi absolument le même par ce double change- 

 ment. Mais m étant à son maximum ou à son minimum , les 

 variables x ei y sont déterminées et constantes ; donc puisqu'a- 

 lors m reste invariable quand on change x en y t\. y tn x, il s'en- 

 suit qu'alors ces deux inconnues sont égales entre elles. 



Posant donc 2/=a:, l'équation proposée devient 



a-' — '2ax^ — m'; d'où x=a±\/(a' — m'). 



On voit que le maximum de m est m^a et donne x=^a=y. 



H. Cherchons encore le maximum ou le minimum de m dans 

 le système homogène et symétrique par rapport aux deux variables 

 X el y, savoir : 



îc'-|-2/='=2c' et 0)5+2/'' — ^mxy=b'c, 



6 et c étant deux nombres constants. Il faut donc poser y=x; et 

 alors les deux équations proposées donnent 



x=y=c et 2c»i=2c' — 6'. 

 Pour savoir si la valeur de m, tirée de celte dernière équation, 

 est un maximum ou un minimum, on pose, dans la seconde équa- 

 tion proposée, x = c-\-k et y = c — k, Â: étant une variable aiwi- 

 liaire , et l'on trouve 



2c'+6f/c'— 6'c 

 »î= ■ . 



Le dénominateur devient le plus grand possible et le numéra- 

 teur le plus pelit possible lorsque i-=0; donc, par cette double 

 raison, la fraelion , valeur de m, est alors la plus petite possible. 

 On voit donc que c'est le minimum de m qui répond à A' = ou à 

 a-=7/ = c cl qui est donné par 2c»j=2c" — b'. 



