i24 J. N. Noël. — Notes sur l'abaissement 



symétrique peut avoir besoin de la niéilioilc du second degré ou de 

 la mélliode des dérivées, soit pour calculer le maximum ou le mi- 

 nimum de la fonction , soit pour décider si la valeur trouvée est 

 un maxinium ou un minimum ; et l'on voit aussi que , pour des 

 équations symétriques , la première méthode simplifie toujours les 

 deux auires. — Pour en doimer un nouvel exemple, considérons 

 encore le système symétrique : 



m=xy-\-ocz-{-yz et x)/r=f!'. 



On sait que pour le maximum et le minimum de m , on a x== 

 y=z=a et m=:ùa''. Or lequel , du maximum ou du minimum de 

 m , 5a' exprime-t-il? C'est ce qu'on ne peut savoir qu'après l'élimi- 

 nation d'une inconnue telle que z, par exemple ; ce qui donne 



x'?/--{- a^{x-\-y) = mxy. 

 Pour appliquer la méthode du second degré, on résout celte 

 équation par rapport à x, et l'on trouve 



'2xy'=iny — a'±|/(în?/ — «')' — ia'y'. 



On vient de voir que pour le maximum et pour le minimum 

 de m, on a x=y=z^a; de sorte qu'alors la quantité sous le ra- 

 dical précédent devient [am — a')' — ia'- Mais , par la méthode du 

 second degré, on sait que pour le maximum et pour le minimum de 

 m , la quantité sous le radical doit être nulle. Or, c'est évidemment 

 le minimum de n; qui donne [am^a^)' — ■4a'' = 0; ce ujinimum 

 est donc m = ùa^. 



Enfin, si l'on veut appliquer la méthode des dérivées, on obser- 

 vera que pour le maximum et pour le minimum de >», on a y=r; 

 ee qui réduit l'équation finale à 



«i = œ- -l-2a'x~' ; d'où l'on tire 



d?H = 2x — 2a'a;~- et d'j«=:2-{-4a'x~'. 



Comme d»i= donne a^a, valeur qui réduit d'»» à -|-G, on 

 voit que c'est le minimum de m qui répond à x=a=y=z. 



VI. Pour calculer le maximum ou le minimum de m dans le 

 sysième : 



x-\-y'\-z = a,y^=xz et m = x'^-\-z^-\-y'', 



on observe que ce système n'est symétrique que par rapport aux 

 deux inconnues ac et z : il faut donc éliminer y entre la |ircmiére 

 équation cl la troisième, ce qui donne 



w=x' + z'-}-{tt-x—zy. 



